【導出】等距離変換とLorentz変換

等距離変換@ユークリッド空間/Euclidean space

一般論

基本的な性質:

  • $x\cdot y=\dfrac{1}{4}\left(\left| x+y\right|^2 -\left| x-y\right|^2\right)$
  • 任意の$x,y$に対し$x\cdot A_1y=x\cdot A_2y$が成立 $\Leftrightarrow A_1=A_2$
    • $(A)_{i,j}=e_i \cdot A e_j$が成り立つことからわかります.

を用いれば,
\begin{align}
\left| Ax\right|=\left| x\right|
&\Leftrightarrow Ax\cdot Ay=x\cdot y\\
&\Leftrightarrow {}^t\!A A=I
\end{align}
が成り立つことがわかります.つまり,$A$が

  • 距離(ノルム)を保つこと
  • 内積を保つこと
  • 直交すること

は同値であることがわかります.*1

2次元の場合の具体的な表式

行列$A$は単位ベクトル$e_1, e_2$を用いて$A=(Ae_1,Ae_2)$と表せます.
このとき,${}^t\!A A=I$は$Ae_i\cdot Ae_j=\delta_{i,j}$と同値です($\delta_{i,j}$はクロネッカーのデルタ).
特に,$|Ae_1|=1$ですから
\begin{align}
Ae_1=
\left(
\begin{array}{c}
\cos\theta\\
\sin\theta
\end{array}
\right)
\end{align}
と表すことができます.これに直行するベクトルは,$Ae_1$を「時計回り」或いは「反時計回り」に$\pi/2$回転させたベクトルなので,
\begin{align}
Ae_2=
\begin{cases}
&\,
\left(
\begin{array}{cc}
0&1\\
-1&0
\end{array}
\right)
\left(
\begin{array}{c}
\cos\theta\\
\sin\theta
\end{array}
\right)
=
\left(
\begin{array}{c}
\sin\theta\\
-\cos\theta
\end{array}
\right)
\\
%
&\,
\left(
\begin{array}{cc}
0&-1\\
1&0
\end{array}
\right)
\left(
\begin{array}{c}
\cos\theta\\
\sin\theta
\end{array}
\right)
=
\left(
\begin{array}{c}
-\sin\theta\\
\cos\theta
\end{array}
\right)
\end{cases}
\end{align}
であることがわかります.

以上より,
\begin{align}
A=(Ae_1,Ae_2)=
\begin{cases}
&\,\color{red}{
\left(
\begin{array}{cc}
\cos\theta&\sin\theta\\
\sin\theta&-\cos\theta
\end{array}
\right)}
\\
%
&\,
\left(
\begin{array}{cc}
\cos\theta&-\sin\theta\\
\sin\theta&\cos\theta
\end{array}
\right)
=\color{red}{
\left(
\begin{array}{cc}
\cos\theta&\sin\theta\\
\sin\theta&-\cos\theta
\end{array}
\right)}\color{blue}{
\left(
\begin{array}{cc}
1&0\\
0&-1
\end{array}
\right) }
\end{cases}
\end{align}
であることが示されました.

  • 前者は回転
  • 後者は,反転+回転

となっていることに注意しましょう.

等距離変換@ミンコフスキー空間/Minkowski space

(作成中)
いわゆる,Lorentz変換と呼ばれるものです.

参考文献

ヒルベルト空間と線型作用素 (数理情報科学シリーズ)
場の古典論―電気力学,特殊および一般相対性理論 (ランダウ=リフシッツ理論物理学教程)



*1:複素ヒルベルト空間への一般化も容易です.例えば,ヒルベルト空間と線型作用素 (数理情報科学シリーズ) の命題2.1.16を参照して下さい.