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あまり知られていないこと

【導出】極座標のラプラシアン〜『簡単に・数行で』導く方法

部分積分を用いると,偏微分を地道に計算するよりもはるかに簡単に「極座標のラプラシアン/発散」を導出できます.
(実際,"数行"の式変形で済むことをを見てみましょう!)

もちろん,一般の曲線座標でも同じ方法で計算することができます.

ここでは,極座標と円筒座標について具体的に計算してみます.

極座標の勾配・発散・ラプラシアン

極座標の勾配 (Gradient)

\begin{align}
\boldsymbol{\nabla}
= \boldsymbol{e}_r \frac{\partial}{\partial r}
+\boldsymbol{e}_\theta \frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial \theta}
+\boldsymbol{e}_\phi \frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial}{\partial \phi}
\end{align}
なので,

極座標の勾配 (gradient)
\begin{align} \boldsymbol{\nabla}\psi = \boldsymbol{e}_r \frac{\partial \psi}{\partial r} +\boldsymbol{e}_\theta \frac{1}{r}\frac{\partial \psi}{\partial \theta} +\boldsymbol{e}_\phi \frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial \psi}{\partial \phi} \end{align}

極座標の発散 (Divergence)

$\psi$を (遠方で十分早く$0$になるような) 任意関数とします.
ベクトル解析の公式
\begin{align}
\boldsymbol{\nabla}\cdot \left( \psi \boldsymbol{A}\right)
= \boldsymbol{\nabla}\psi \cdot \boldsymbol{A}
+\psi\left( \boldsymbol{\nabla}\cdot\boldsymbol{A}\right)
\end{align}
を用いれば,
\begin{align}
\int \psi\left(\boldsymbol{\nabla}\cdot\boldsymbol{A}\right) \,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z
=-\int\left[\frac{\partial \psi}{\partial r}A_r
+\frac{1}{r}\frac{\partial \psi}{\partial \theta}A_\theta
+\frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial \phi}{\partial \phi}A_\phi
\right] r^2\sin\theta\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}\phi
\end{align}
となります.
ここで,

1. Gaussの発散定理を用いて,表面項を落とした: \begin{align} \int_V \boldsymbol{\nabla}\cdot \left( \psi \boldsymbol{A}\right)\,\mathrm{d}V =\int_S \psi \boldsymbol{A}\cdot \mathrm{d} \boldsymbol{S} =0 \end{align} 2. $\boldsymbol{A}= A_r \boldsymbol{e}_r +A_\theta \boldsymbol{e}_\theta+A_\phi \boldsymbol{e}_\phi$とした.

さらに

  • ① 各項について部分積分を行い,$\psi$から微分を移す
  • ② $x,y,z$に変数変換を行う$\displaystyle\left( \,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}\phi=\frac{1}{r^2\sin\theta}\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z\right)$

と,
\begin{align}
\int \psi\left(\boldsymbol{\nabla}\cdot\boldsymbol{A}\right) \,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z
=\int\psi\left[\frac{\partial}{\partial r}\left(r^2\sin\theta A_r\right)
+\frac{\partial}{\partial \theta}\left(r\sin\theta A_\theta\right)
+\frac{\partial}{\partial \phi}\left(r A_\phi\right)
\right]\frac{1}{r^2\sin\theta}\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z.
\end{align}

$\psi$は任意関数なので,

極座標の発散 (divergence)
\begin{align} \boldsymbol{\nabla}\cdot\boldsymbol{A} = \frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\left(r^2 A_r\right) +\frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial}{\partial \theta}\left(\sin\theta A_\theta\right) +\frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial A_\phi}{\partial \phi} \end{align}

極座標のラプラシアン (Laplacian)

発散の計算で$\boldsymbol{A}$を$\boldsymbol{\nabla}u$に置き換えれば,ラプラシアンを導くことができます.
\begin{align}
&\int \psi \left(\boldsymbol{\nabla}^2 u\right) \,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z\\
&=-\int \boldsymbol{\nabla}\psi \cdot \boldsymbol{\nabla}u \,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z\\
&=-\int\left[\frac{\partial \psi}{\partial r}\frac{\partial u}{\partial r}
+\frac{1}{r^2}\frac{\partial \psi}{\partial \theta}\frac{\partial u}{\partial \theta}
+\frac{1}{r^2\sin^2\theta}\frac{\partial \psi}{\partial \theta}\frac{\partial u}{\partial \phi}
\right] r^2\sin\theta\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}\phi \\
&=\int\psi\left[\frac{\partial}{\partial r}\left(r^2\sin\theta \frac{\partial u}{\partial r} \right)
+\frac{\partial}{\partial \theta}\left(\sin\theta \frac{\partial u}{\partial \theta} \right)
+\frac{\partial}{\partial \phi}\left(\frac{1}{\sin\theta} \frac{\partial u}{\partial \phi} \right)
\right] \frac{1}{r^2\sin\theta} \,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z.
\end{align}

よって,

極座標のラプラシアン (Laplacian)
\begin{align} \boldsymbol{\nabla}^2 u = \frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\left(r^2 \frac{\partial u}{\partial r} \right) +\frac{1}{r^2}\left[\frac{1}{\sin\theta}\frac{\partial}{\partial \theta}\left(\sin\theta \frac{\partial u}{\partial \theta} \right) +\frac{1}{\sin^2\theta}\frac{\partial^2 u}{\partial \phi^2} \right] \end{align}

円筒座標の勾配・発散・ラプラシアン

\begin{align}
\boldsymbol{\nabla}
= \boldsymbol{e}_r \frac{\partial}{\partial r}
+\boldsymbol{e}_\theta \frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial \theta}
+\boldsymbol{e}_z \frac{\partial}{\partial z}
\end{align}
であることを用いれば,極座標の場合と全く同様の方法で導くことができます.

円筒座標の勾配 (Gradient)

円筒座標の勾配 (gradient)
\begin{align} \boldsymbol{\nabla}\psi = \boldsymbol{e}_r \frac{\partial \psi}{\partial r} +\boldsymbol{e}_\theta \frac{1}{r}\frac{\partial \psi}{\partial \theta} +\boldsymbol{e}_\phi \frac{\partial \psi}{\partial z} \end{align}

円筒座標の発散 (Divergence)

円筒座標の発散 (divergence)
\begin{align} \boldsymbol{\nabla}\cdot\boldsymbol{A} = \frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\left(r A_r\right) +\frac{1}{r}\frac{\partial A_\theta}{\partial \theta} +\frac{\partial A_z}{\partial z} \end{align}

円筒座標のラプラシアン (Laplacian)

円筒座標のラプラシアン (Laplacian)
\begin{align} \boldsymbol{\nabla}^2 u = \frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\left(r \frac{\partial u}{\partial r} \right) +\frac{1}{r^2}\frac{\partial^2 u}{\partial \theta^2} +\frac{\partial^2 u}{\partial z^2} \end{align}

参考文献

熱・波動と微分方程式 (現代数学への入門)
詳解物理応用数学演習