読者です 読者をやめる 読者になる 読者になる

選出公理(選択公理,Axiom of choice)の適用例

どこで使われているのかわかりにくい,選出公理.
その適用例を紹介します.

選出公理

直積
$(A_\lambda)_{\lambda\in\Lambda}$を集合族とする.このとき,集合 \[ \prod_{\lambda\in\Lambda}A_\lambda:= \left\{a:\Lambda\rightarrow \bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_\lambda\, \biggl|\,\forall\lambda\in\Lambda,a(\lambda)=a_\lambda\in A_\lambda\right\} \] を集合族$(A_\lambda)_{\lambda\in\Lambda}$の直積という.

選出公理 (Axiom of choice)
$$\forall\lambda\in\Lambda,A_\lambda\neq\emptyset \Rightarrow\prod_{\lambda\in\Lambda}A_\lambda\neq\emptyset$$

選出公理の適用例

例1:任意の無限集合は, 可算無限集合を部分集合として含む.

証明

$M$を無限集合とし,$\mathfrak{M}=2^M-\{\emptyset\}$とおく.
$\forall A\in\mathfrak{M}$に対し,$A\neq \emptyset$であるから,選出公理により$\displaystyle\prod_{A\in\mathfrak{M}}A\neq\emptyset$が成立する.
つまり,$\forall A\in\mathfrak{M}$に対して$a_A\in A$であるような元の族$(a_A)_{A\in\mathfrak{M}}$が存在する.
このような族$(a_A)_{A\in\mathfrak{M}}$をひとつとり,
\begin{align}
\begin{cases}
\,a_0=a_M \in M\\
\,a_i= a_{M-\{a_k\}_{k=0}^{i-1}} \in M-\{a_k\}_{k=0}^{i-1}&(i\geq 1)
\end{cases}
\end{align}
と$a_i\in M\,(i\in\mathbb{N})$を定めれば,$a_i\neq a_j\,(i\neq j)$.
従って,$\{a_i\}_{i=0}^\infty$は$M$の可算無限な部分集合となる.//

参考文献

集合・位相入門