UNTITLED MEMORANDUM

あまり知られていないこと

【定理/反例】極限操作の入れ替え

絵(グラフ)で考えることが重要です.

以下のような"当たり前"のポイントさせ掴んでいれば,反例を考えることは簡単です:

  • 「一様収束」は,『「収束先の関数から一定距離にある床と天井」が迫ってくる』イメージ.
  • 微分はグラフの傾き.


limとlimの入れ替え

極限記号が入れ替えられない例

\begin{align}
a_{m,n}=\frac{m}{m+n}
\end{align}
を考えれば,
\begin{align}
\lim_{m\to\infty} a_{m,n}=1&\qquad(\text{for all $n$})\\
\lim_{n\to\infty} a_{m,n}=0&\qquad(\text{for all $m$})
\end{align}
なので,
\begin{align}
\lim_{n\to\infty}\left(\lim_{m\to\infty} a_{m,n}\right)=1
\neq
0=\lim_{m\to\infty}\left(\lim_{n\to\infty} a_{m,n}\right)
\end{align}

積分とlimの入れ替え

定理
有界区間$[a,b]$上の(Riemann可積分である)関数列$\{f_n\}$が$f$に一様収束するとき, \begin{align*} \lim_{n\to\infty}\int_a^b f_n(x)\,\mathrm{d}x =\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x \end{align*}
  • この結果は,Riemann-Stieltjes積分に一般化できます (参考:Rudin).
  • $f_n=\displaystyle\sum_{k=1}^n g_k$を考えれば,級数にも適用できます.



以下で,

  1. 「有界」の仮定は除けない
  2. 「一様収束」の仮定は除けない

ことを見てみましょう.

非有界区間で一様収束するが,$\displaystyle\lim_{n\to\infty}$と$\displaystyle\int$を入れ替えられない例

以下の2条件を満たす関数列

  • 面積は常に有限
  • $0$に一様収束する

がすぐに見つかります.

\begin{align*}
f_n(x)=
\begin{cases}
\,\dfrac{1}{n^2}x&(0\leq x\leq 2n)\\
\,-\dfrac{1}{n^2}x+\dfrac{2}{n}&(n\leq x\leq n)\\
\,0&(\text{otherwise})
\end{cases}
\end{align*}


任意の$x$に対して$\left| f_n(x)\right|\leq 1/n$なので,関数列$\{f_n\}_n$は$0$に一様収束します.
さらに,任意の$n$に対して
\begin{align*}
\int_{-\infty}^{\infty} f_n(x)\,\mathrm{d}x=1
\end{align*}
が成り立つので
\begin{align*}
\lim_{n\to\infty}\int_{-\infty}^{\infty} f_n(x)\,\mathrm{d}x=1
\neq
0=\int_{-\infty}^{\infty} \lim_{n\to\infty} f_n(x) \,\mathrm{d}x
\end{align*}
となり,両者の計算結果は一致しません.

有界区間で各点収束するが,$\displaystyle\lim_{n\to\infty}$と$\displaystyle\int$を入れ替えられない例

今度は,一様収束しなくて良いことがポイントです.
上の例で$y$方向を潰した代わりに,$x$軸方向に潰して面積を$0$にすれば良いわけです.


\begin{align*}
f_n(x)=
\begin{cases}
\,n^2x&(0\leq x\leq 1/n)\\
\,-n^2x+2n&(1/n\leq x\leq 2/n)\\
\,0&(2/n\leq x\leq 2)
\end{cases}
\end{align*}



\begin{align*}
\lim_{n\to\infty}\int_{0}^{2} f_n(x)\,\mathrm{d}x=1
\neq
0=\int_{0}^{2} \lim_{n\to\infty} f_n(x) \,\mathrm{d}x
\end{align*}

微分とlimの入れ替え

定理
$\{f_n\}$を有界区間$[a,b]$上の(微分可能な)関数列とする. 2条件
  1. ある$1$点$x_0\in[a,b]$で,$\displaystyle\lim_{n\to\infty} f^\prime_n(x_0)=f(x_0)$
  2. $\{f^\prime_n\}$が,$[a,b]$上$f^\prime$に一様収束する
を満たすとき,以下が成立する:
  1. $\{f_n\}$は,$[a,b]$上$f$に一様収束する
  2. $\displaystyle\lim_{n\to\infty} f^\prime_n(x)=f^\prime(x)\qquad(x\in[a,b)])$

関数列は一様収束するが,導関数列が一様収束しない場合の反例

2条件

  • $0$に一様収束する
  • 傾きがどんどん大きくなる

は同時に実現可能であることはすぐにわかります.
以下で定められる関数列$\{f_n\}$を考えましょう.

\begin{align*}
f_n(x)=
\frac{1}{n}\sin (n^2x)
\end{align*}



この関数列は,$n$が大きくなるにつれて周期が小さくなり,傾きの最大値がどんどん大きくなっていきます.

$\left|f_n\right|\leq 1/n$なので,関数列$\{f_n\}$は$0$に一様収束します.

一方で,導関数は
\begin{align*}
f^\prime_n(0)=
n
\rightarrow\infty
\qquad(n\rightarrow \infty)
\end{align*}
です.

従って,
\begin{align}
\lim_{n\to\infty} \frac{\mathrm{d}f_n}{\mathrm{d} x}(0)
=\infty
\neq
0
=\left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}\lim_{n\to\infty} f_n\right)(0)
\end{align}
であることがわかります.

参考文献

微分積分学 (サイエンスライブラリ―数学)
The Principles of Mathematical Analysis (International Series in Pure & Applied Mathematics)