POINT 基底の変換則から，高階のテンソルの変換則が導かれる． 導出した変換則を一覧として整理した． 以前の記事で， 「線形空間$V$の基底・双対基底の変換則」から，自然に「反変・共変ベクトルの変換則」が導かれること を示しました．この議論を一般化す…

POINT 双対空間は「相対論の共変ベクトル」や「量子力学のブラベクトル」として特に説明なく導入されている． 双対空間を学べば，共変ベクトルの変換則が自然に導かれる． ある線形空間 (ベクトル空間) に対し定義される「双対空間」は，物理の様々な場面で …

POINT 標準偏差の役立つ実用例を紹介． 偏差値・ボリンジャーバンド・測定 Excelによるボリンジャーバンドの描画法． 確率・統計で学ぶ「標準偏差」の定義を知っている人は多いと思います．また，「標準偏差」が分布のバラツキを表していることも良く知られ…

Excelのグラフと近似曲線POINT Excelの近似曲線の式を関数を使って計算する方法と，任意の点の値を求める方法について． ①曲線の係数を得る関数と，②曲線上の値を得る関数がある． 標準誤差や決定係数（$R^{2}$）を取得することも可能． Excelの関数を使って…

POINT 数行でラプラシアンやdivを計算できる方法（曲線座標）． 合成関数の微分（連鎖率・チェーンルール）なしで計算できる． より一般の曲線座標（曲がった空間）でも同じ方法が使える． ちまちま偏微分の計算をするのではなく，積分計算に置き換えてしま…

POINT ユークリッド空間の距離を保つ変換は「回転」と「反転」で表される． ミンコフスキー空間の距離を保つ変換はLorentz変換となる． 距離を保つ変換が「回転」と「反転」で表されることはよく知られています．但し，これは「ユークリッド空間」での話です…

POINT 極限操作（lim,微分,積分）を入れ替えられない例の紹介． 一様収束や微分，積分をグラフで理解しておけば簡単に反例をつくることができる． 絵（グラフ）で考えるとわかりやすいです．次のポイントさえ掴んでいれば，反例を考えることは簡単です： 微…

POINT 数学的に収束因子が正当化される例の紹介． 物理においては，実験との比較によって正当化される． 物理では，広義積分の計算において収束因子を掛けて収束性を良くし，最後に収束因子の影響を除く操作を行うことがあります．この操作が正当化されるの…

POINT 選出公理（選択公理，Axiom of choice）の主張と例を紹介． どこで使われているのかわかりにくい，選出公理．その適用例を紹介します． 選出公理 選出公理の適用例 例１：任意の無限集合は, 可算無限集合を部分集合として含む． 参考文献 選出公理まず…

POINT 有限個のサンプルから，分布の平均・分散・標準偏差を推定する方法． 測定への応用を紹介． ある分布から，有限個のサンプルを取り出して「元の分布」の情報を推定する方法について解説します．これは，何かの「測定」を行う際には避けられない話題で…

POINT 定義さえ理解しておけば，（派生）公式を覚えなくても計算できる． 具体例として，回転体の表面積の派生公式などを導く． 曲面積の定義 派生公式 球の表面積 グラフの曲面積（$X=x$, $Y=y$, $Z=f(x,y)$） $y=f(x)$の回転体（$X=x$, $Y=f(x)\cos\theta$…