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あまり知られていないこと

【解説】双対空間とブラベクトル,反変・共変ベクトルの座標変換

ある線形空間 (ベクトル空間) に対し定義される「双対空間」は,物理の様々な場面で (特に明示されることなく) 使われています.例えば,「共変ベクトル」とは双対空間の元のことです.そして,その変換則は「双対基底の変換則」に由来します. つまり,双対…

【例】役に立つ標準偏差〜偏差値・ボリンジャーバンド・測定

確率・統計で学ぶ「標準偏差」の定義を知っている人は多いと思います. また,「標準偏差」が分布のバラツキを表していることも良く知られています: wpqtqpqp.hatenablog.com それでは,「標準偏差」の応用例をすぐに思いつくでしょうか.実は,標準偏差は…

【暗記ツール】復習のタイミングを自動化して楽に「覚える」〜電子単語帳Anki

受験生を始め,「物事をどうやって覚えるか」という問題に直面する人は多いはずです. ここでは,楽に「暗記」をするためのツール・方法を紹介します.上手く使えば,本の内容を丸ごと暗記することも可能です. はじめに 暗記が辛い理由 Q. 楽に「暗記」する…

【確定申告】『株式の売買による「昨年度の」譲渡損失』の損益通算と繰越をした話

2016年における株式の売買で,特定口座のうち1つに損失が出ました.他に利益が出ていた特定口座があったため,2017/秋に還付申告を行うことで「所得税の控除・住民税の減額」を受けることができました.また,損益通算しきれない損失については,翌年以降に…

【税金】ビットコインと雑所得〜仮想通貨の税金は,株/FXより厄介!

今年,ビットコインで得られた利益が「雑所得」であると明言されたことは記憶に新しいと思います.また,最近 『値上がりしたビットコインで「買い物」をした際にも税金が発生する』 『値上がりしたビットコインで「別の仮想通貨を購入」した際にも税金が発…

【まとめ】ふるさと納税〜最近の動向,メリット,手続き方法

ふるさと納税の「動向」,「メリット・デメリット」や「手続の方法」について,整理しました.※ 必ず,総務省・国税庁のウェブサイトや,ふるさと納税の際に利用する各サービスの説明を参照し, 最新の正確な情報を確認してから,ふるさと納税を行って下さい…

【Excel】最小二乗法による回帰分析 (近似曲線の求め方)

Excelの関数を使って,最小二乗法による回帰分析を行う方法を紹介します.【最小二乗法に馴染みのない人へ】 この記事では,Excelのグラフの「近似曲線」を関数を使って求める方法を紹介します. 多項式の場合 1変数多項式の場合 指数関数の場合 関数の詳細…

【導出】超簡単!極座標のラプラシアンの導き方

部分積分を用いると,偏微分を地道に計算するよりもはるかに簡単に「極座標のラプラシアン/発散」を導出できます.(実際,"数行"の式変形で済むことをを見てみましょう!)もちろん,一般の曲線座標でも同じ方法で計算することができます.まずは,極座標と…

【導出】等距離変換とLorentz変換

距離を保つ変換が「回転」と「反転」で表されることはよく知られています. 但し,これは「ユークリッド空間」での話です.特殊相対性理論で扱う「ミンコフスキー空間」での等距離変換は「Lorentz変換」と呼ばれ,運動する物体の長さが縮むことや,時間の経…

【定理/反例】極限操作の入れ替え

絵(グラフ)で考えることが重要です.以下のような"当たり前"のポイントさせ掴んでいれば,反例を考えることは簡単です: 「一様収束」は,『「収束先の関数から一定距離にある床と天井」が迫ってくる』イメージ. 微分はグラフの傾き. limとlimの入れ替え …

【例】収束因子

物理では,広義積分の計算において収束因子を掛けて収束性を良くし, 最後に収束因子の影響を除くような操作を行うことがあります. 数学的には,どのような場合に正当化されるのか見てみましょう. 広義積分のアーベル和 定理 $[a,\infty)$上で区分的連続な…

【例】選出公理(選択公理,Axiom of choice)の適用例

どこで使われているのかわかりにくい,選出公理. その適用例を紹介します. 選出公理 選出公理の適用例 例1:任意の無限集合は, 可算無限集合を部分集合として含む. 証明 参考文献 選出公理 直積 $(A_\lambda)_{\lambda\in\Lambda}$を集合族とする.このと…

【点推定】無作為標本から,分布の平均・分散・標準偏差を推定する方法

ある分布から,有限個のサンプルを取り出して「元の分布」の情報を推定する方法について解説します. これは,何かの「測定」を行う際には避けられない話題です. なぜなら,「測定」は『「測定値を確率変数とする分布」からの無作為抽出』とみなせるからで…

【まとめ】便利なバッチファイル (ループ・日付名フォルダ作成・pdfを取出す・リネーム etc.)

「ループ処理」や「日付名フォルダの作成」,「特定の拡張子のファイルを取り出す」,「ファイル名の一括変更」など,よく使うバッチファイルのテンプレートを紹介します. 変数を変更して使って下さい. ループ処理 年月日時間(YYYYMMDDHHMMSS)の名前フォル…

【TikZ】回転体の図〜Texコード

回転体の図のソースコードを紹介します. TikZ, pgfplotで作成しました.この図は,以下の記事で用いました: wpqtqpqp.hatenablog.com 作成した図 Texのソースコード 参考記事 作成した図 Texのソースコード \begin{tikzpicture} \begin{axis}[ title={Rota…

【導出】曲面積の求め方〜回転体の表面積も定義から導ける

曲面積の一般的な定義を「理解」しておけば,派生公式を覚えていなくても計算ができます. 具体例を交えながら見ていきましょう.この記事を読めば,曲面積の定義式(\ref{eq:surf_area})さえ理解しておけば,派生公式を覚える必要はないことがわかります. …

【TikZ】2次元回転行列の導出で用いた図〜Texコード

ベクトルの回転を説明する図をTex (TikZ)で作成しました. Texのソースコードを紹介します.この図は,以下の記事で用いました. wpqtqpqp.hatenablog.com 作成した図 Texのソースコード 参考記事 作成した図 Texのソースコード \begin{figure}[htbp] % 左の…

【解説】条件付き確率を直感的に理解する方法

確率と場合の数の関係 確率とは「"起こりやすさ"の比率」である なぜ全確率は1か 条件付き確率 確率と場合の数の関係 確率とは「"起こりやすさ"の比率」である つまり,比較対象がないと確率(起こりやすさ)は計算できません. 「・・・が***に比べてど…

【解説】『0.999・・・=1』 を理解する〜10進法では同じ数が2通りの方法で表せる

割り算を習う頃,0.999・・・=1という式に出くわします. なんとなく,「正しい式」として教えられますが,納得できている人は多くないのではないでしょうか. 10進法の定義に戻ると,「同じ数の表示方法が2種類ある」ということがわかります. 0.999・・・=…

【解説】ユークリッドの互除法

ユークリッドの互除法は,整数$a$と$b$の最大公約数を求める方法です.今,$a>b>0$としましょう. $a$を$b$で割った時の商を$q_1$, 余りを$r_1$とすると, \begin{align} a=bq_1+r_1 \qquad(0\leq r_1 \end{align} と書くことができます. よって,以下のこ…

【解説】超簡単!因数分解〜公式を覚えずに済ます方法

高校に入ってすぐに因数分解の公式に苦しんだ人,結構いるんじゃないでしょうか?ここでは,因数分解のコツについて紹介します. マスターできれば,複雑な公式を覚えないで済ますことができます. 手順 Step1 因数定理を使う Step2 因数$(x-a)$をくくりだす…

【パラドックス】「1=−1」!?・・・複素数の平方根

高校生や大学の複素解析を学んだとき,「平方根」で混乱したことはないでしょうか? パラドックス? 種明かし 非負実数の平方根の定義を思い出してみる 複素数の平方根の定義 $\beta=0$の場合 $\beta\neq 0$の場合 結論 参考文献 パラドックス? 複素数の平…

【計算方法】「ポテンシャルエネルギー」の求め方

力学で「位置エネルギー」を求める問題や, 電磁気学で「電位」を求める問題に困っている人には役立つかもしれません. ポテンシャルエネルギーを計算する2つの考え方 1つ目の考え方:外から「自分が」仕事をする 2つ目の考え方:物体に位置エネルギーを…

【導出】超簡単! 回転行列の導き方

覚える必要はありません.簡単に求めることができます. (2次元なら暗算で導出できるようになりますよ!)導出方法は2次元回転行列でも,3次元回転行列も同じです. もっと一般に,行列全般の導出に応用できます. ぜひ身につけましょう. はじめに 【前提知…

【まとめ】黒体輻射/熱放射に関する基礎知識

黒体輻射(Black body radiation)についての計算を整理します. 機会があれば,場の理論的なアプローチも書きたいと思っています. 黒体とは Planckの輻射公式 エネルギー期待値(1モード) 状態数 エネルギー密度 (Planckの輻射公式) Stefan-Boltzmannの法則…

【導出】10進数から2進数への変換法

「2進数の各桁を求めること」は,「10進数の各桁を求めるのと同じ操作」に過ぎないのです. 難しいことは何もありません. 10進数の各桁をどうやって求めるか思い浮かべながら読んでみて下さい. 2進数とは 10進数→2進数 Step1 整数部分 $a_0$を求める $a_1$…

【まとめ】Shell Scriptでファイル名一括編集

Shell Scriptでファイル名一括編集する方法についてまとめました. 注:以前の記事のShell Script版を書こうと思ったのですが,こちらは結構まとまった記事があるようです(参考記事).これらの記事を参考に,バッチファイルの記事と対応させたShell Scriptの…

【まとめ】バッチファイルによるファイル名一括変更

バッチファイルで「フォルダ内のファイルの名前」を一括変更する方法を紹介します. 検索してもまとまった記事がなかったので,まとめてみました . 実用的な例 【まとめ】便利なバッチファイル (ループ・日付名フォルダ作成・pdfを取出す・リネーム etc.) -…

【考察】スターリングの公式 (Stirling's approximation/Stirling's formula)

統計力学でよく出てくるStirlingの公式について考えてみましょう. スターリングの公式 (Stirling's approximation/Stirling's formula)とは? 式 (\ref{eq:st_phys})の導出 式 (\ref{eq:st_phys})と式 (\ref{eq:st_math})の関係について スターリングの公式…

【例】Landau symbol (ランダウの記号)

微小量の高次項を表すときに,$o(\cdot)$や$O(\cdot)$といった記号がよく現れます(カリグラフィー$\mathcal{O}$が使われることもあります). 例えば,微積分学の教科書を開くと至る所で使われているのがわかるでしょう.また,統計力学においては$O(N)$とい…