UNTITLED MEMORANDUM

あまり知られていないこと

【導出】超簡単!極座標のラプラシアンの導き方

部分積分を用いると,偏微分を地道に計算するよりもはるかに簡単に「極座標のラプラシアン/発散」を導出できます. (実際,"数行"の式変形で済むことをを見てみましょう!)もちろん,一般の曲線座標でも同じ方法で計算することができます.ここでは,極座…

【導出】等距離変換とLorentz変換

ユークリッド空間での等距離変換が回転と反転で表されることはよく知られています. 同じように,ミンコフスキー空間での等距離変換(Lorentz変換)がどのような形で表されるのか計算してみましょう. 以下の記事の知識を仮定します: 【導出】超簡単! 回転行…

【定理/反例】極限操作の入れ替え

絵(グラフ)で考えることが重要です.以下のような"当たり前"のポイントさせ掴んでいれば,反例を考えることは簡単です: 「一様収束」は,『「収束先の関数から一定距離にある床と天井」が迫ってくる』イメージ. 微分はグラフの傾き. 【目次】 limとlimの…

収束因子

物理では,広義積分の計算において収束因子を掛けて収束性を良くし, 最後に収束因子の影響を除くような操作を行うことがあります. 数学的には,どのような場合に正当化されるのか見てみましょう. 広義積分のアーベル和 定理 $[a,\infty)$上で区分的連続な…

【例】選出公理(選択公理,Axiom of choice)の適用例

どこで使われているのかわかりにくい,選出公理. その適用例を紹介します. 【目次】 選出公理 選出公理の適用例 例1:任意の無限集合は, 可算無限集合を部分集合として含む. 証明 参考文献 選出公理 直積 $(A_\lambda)_{\lambda\in\Lambda}$を集合族とす…

【点推定】平均・分散・標準偏差を推定する方法

【目次】 疑問:平均・分散・標準偏差を推定するには? 平均値を推定する方法? 分散を推定する方法? この推定法は正しいのか? 一般化 平均値 分散 まとめ 参考文献 疑問:平均・分散・標準偏差を推定するには? 次のような,1から4までの数字の書いてある玉…

【例・テンプレ】よく使うバッチファイル (ループ・日付名フォルダ作成・pdfだけ取り出す・リネーム etc.)

よく使うバッチファイルのテンプレートを紹介します. コピペ・変数を編集して使って下さい. 【目次】 ループ処理 年月日時間(YYYYMMDDHHMMSS)の名前フォルダを作成する 特定フォルダ以下の「全階層」にある,全てのpdfファイルを取り出す ファイル名の一括…

【TikZ】回転体の図

Tex

以下の記事で作成した図のメモです. 【導出】曲面積の求め方〜回転体の表面積も定義から導ける - UNTITLED MEMORANDUM TikZ, pgfplotで作成しました. \begin{tikzpicture} \begin{axis}[ title={Rotation of $f(x)$}, colormap/greenyellow, view={30}{30}…

【導出】曲面積の求め方〜回転体の表面積も定義から導ける

曲面積の一般的な定義を「理解」しておけば,派生公式を覚えていなくても計算ができます. 具体例を交えながら見ていきましょう.この記事を読めば,曲面積の定義式(\ref{eq:surf_area})さえ理解しておけば,派生公式を覚える必要はないことがわかります. …

【TikZ】2次元回転行列の導出で用いた図

Tex

以下の記事にTikZで作った図を追加しました. 【導出】超簡単! 回転行列の導き方 - UNTITLED MEMORANDUM Texのコードを残しておきます. \begin{figure}[htbp] % 左の図 \begin{minipage}{0.3\hsize} \begin{center} \begin{tikzpicture}[scale=2] % 座標軸 …

条件付き確率を直感的に理解する方法

【目次】 確率と場合の数の関係 確率とは「"起こりやすさ"の比率」である なぜ全確率は1か 条件付き確率 確率と場合の数の関係 確率とは「"起こりやすさ"の比率」である つまり,比較対象がないと確率(起こりやすさ)は計算できません. 「・・・が***に…

『0.999・・・=1』 を理解する〜10進法の定義に戻って考える

0.999・・・=1って何だ? 実数の表し方 (10進法) やっと,0.999・・・=1の意味が分かった! 2進数でも同じことが起きる! 2進数の定義 2進数で"1"を2通りの方法で表す $N$進数でも同じことが起きる! 0.999・・・=1って何だ? あれは小学生のころ...それ…

ユークリッドの互除法

ユークリッドの互除法は,整数$a$と$b$の最大公約数を求める方法です.今,$a>b>0$としましょう. $a$を$b$で割った時の商を$q_1$, 余りを$r_1$とすると, \begin{align} a=bq_1+r_1 \qquad(0\leq r_1 \end{align} と書くことができます. よって,以下のこ…

【解法】因数分解の手順

高校に入ってすぐに因数分解の公式に苦しんだ人,結構いるんじゃないでしょうか?ここでは,因数分解のコツについて紹介します. マスターできれば,複雑な公式を覚えないで済ますことができます. 手順 因数分解は,以下の手順で行います: 因数分解の手順 …

「1=-1」!?・・・複素数の平方根

高校生や大学の複素解析を学んだとき,「平方根」で混乱したことはないでしょうか? 【目次】 パラドックス? 種明かし 非負実数の平方根の定義を思い出してみる 複素数の平方根の定義 $\beta=0$の場合 $\beta\neq 0$の場合 結論 参考文献 パラドックス? 複…

【計算方法】「ポテンシャルエネルギー」の求め方

力学で「位置エネルギー」を求める問題や, 電磁気学で「電位」を求める問題に困っている人には役立つかもしれません. 【目次】 ポテンシャルエネルギーを計算する2つの考え方 1つ目の考え方:外から「自分が」仕事をする 2つ目の考え方:物体に位置エネ…

【導出】超簡単! 回転行列の導き方

覚える必要はありません.簡単に求めることができます.導出方法は2次元回転行列でも,3次元回転行列も同じです. もっと一般に,行列全般の導出に応用できます. ぜひ身につけましょう.【前提知識】 高校生でも,『行列の計算方法』さえ知っていれば理解で…

黒体輻射 (Black body radiation)

【目次】 黒体とは Planckの輻射公式 エネルギー期待値(1モード) 状態数 エネルギー密度 Stefan-Boltzmannの法則 空洞放射 形態係数 参考文献 黒体とは あらゆる電磁波を吸収する物体を黒体 (Black body)と呼びます.例えば,「空洞」に,空洞に比べ小さな…

【導出】10進数から2進数への変換法

2進数の各桁を求めるのだって,10進数の各桁を求めるのと同じ操作に過ぎないのです. 難しいことは何もありません. 2進数とは 10進数→2進数 Step1 整数部分 $a_0$を求める $a_1$を求める $a_n$を求める Step2 小数部分 $a_{-1}$を求める $a_{-2}$を求める $…

【まとめ】Shell Scriptでファイル名一括編集

以前の記事のShell Script版を書こうと思ったのですが, こちらは結構まとまった記事があるようです(参考記事).これらの記事を参考に,バッチファイルの記事と対応させたShell Scriptの例を作ってみます. 【目次】 ファイル名切り出し 例1:拡張子".txt"…

【まとめ】バッチファイルによるファイル名一括変更

バッチファイルで「フォルダ内のファイルの名前」を一括変更する方法を紹介します. 検索してもまとまった記事がなかったので,まとめてみました . (Shell Script版:【まとめ】Shell Scriptでファイル名一括編集 - UNTITLED MEMORANDUM) 【目次】 ファイル…

スターリングの公式 (Stirling's approximation/Stirling's formula)

統計力学でよく出てくるStirlingの公式について考えてみましょう. スターリングの公式 (Stirling's approximation/Stirling's formula)とは? 物理の教科書では \begin{align} \log N!=N(\log N-1)+O(\log N)\qquad(N\rightarrow\infty) \tag{1}\label{eq:s…

Landau symbol (ランダウの記号)

微小量の高次項を表すときに,$o(\cdot)$や$O(\cdot)$といった記号がよくあらわれます. 例えば,微積分学の教科書を開けば至る所で見ることができます.また,統計力学においては$O(N)$といった記号を頻繁に見かけます($N$は粒子数). これは"オーダー"と呼…

電気回路〜Maxwell方程式で理解する

高校で習う程度の回路の知識が,電磁気学の理論 (Maxwell方程式)と回路がどうつながっているの? という疑問を解消する内容にしていく予定です. Kirchhoffの法則 第一法則 回路の任意の結合点において \begin{align} \sum_k I_k =0 \end{align} が成立する…

【定理・例】Lebesgue積分論のご利益2・極限と積分の順序交換

微分・積分の順序交換については,以下の記事を参照して下さい: 【定理・例】Lebesgue積分論のご利益1・微積分の順序交換 - UNTITLED MEMORANDUM 優収束定理 (Dominated convergence theorem) 優収束定理 (Dominated convergence theorem) $(X,\mathfrak{M…

【判定法・例】正項級数の収束判定

この記事では,正項級数の収束判定に関する事項をまとめます.正項級数というと特殊な感じがしますね.しかし, \begin{align} \left| \sum_n a_n\right|\leq \sum_n |a_n| \end{align} から \begin{align} \underset{\text{正項級数!}}{\underline {\sum_n…

中心極限定理 (Central limit theorem, CLT) とその応用例

中心極限定理 平均$\mu$,分散$\sigma^2$の独立同一分布に従う確率変数列$X_1,...,X_n$を考える. このとき, \begin{align} S_n:=\frac{X_1+\cdots +X_n}{n} \end{align} に対して \begin{align} \lim_{n\to\infty} P\Biggl(\frac{\sqrt{n}(S_n-\mu)}{\sigm…

【定理・例】Lebesgue積分論のご利益1・微積分の順序交換

極限記号$\lim$と,積分$\displaystyle\int$の順序交換(優収束定理)については,次の記事を参照して下さい: 【定理・例】Lebesgue積分論のご利益2・極限と積分の順序交換 - UNTITLED MEMORANDUM 定理 定理(微積分の順序交換) $(X,\Omega,\mu)$を測度空…

$\dfrac{\sin x}{x}$はRiemann積分可能だが,Lebesgue積分は不可能!

RiemannとLebesgue積分の関係 RiemannとLebesgue積分の間には,以下のような関係があります: (狭義) Riemann積分可能な関数は,Lebesgue積分も可能.このとき,両者の積分は一致する. $f$が広義Riemann積分可能 (有限) でも,$f\geq 0$でないときには,Leb…

Chebyshev’s inequality (チェビシェフの不等式) とその応用例

Chebyshevの不等式 期待値が$\mu$,分散が$\sigma^2$の確率変数$X$と任意の$k>0$に対して,以下のChebyshevの不等式が成立します: Chebyshevの不等式 \begin{align} P(|X-\mu|\geq k\sigma)\leq \frac{1}{k^2} \tag{1}\label{eq:Chebyshev1} \end{align} ま…