【導出】等距離変換とLorentz変換

以下の記事の知識を仮定します: 【導出】超簡単! 回転行列の導き方 - UNTITLED MEMORANDUM 等距離変換@ユークリッド空間/Euclidean space 一般論 基本的な性質: $x\cdot y=\dfrac{1}{4}\left(\left| x+y\right|^2 -\left| x-y\right|^2\right)$ 任意の$x,y…

【定理/反例】極限操作の入れ替え

この類の反例は,絵を描けば「なぜ極限操作が交換できないか」が簡単に理解できます. limとlimの入れ替え 極限記号が入れ替えられない例 \begin{align} a_{m,n}=\frac{m}{m+n} \end{align} を考えれば, \begin{align} \lim_{m\to\infty} a_{m,n}=1&\qquad(…

収束因子

物理では,広義積分の計算において収束因子を掛けて収束性を良くし, 最後に収束因子の影響を除くような操作を行うことがあります. 数学的には,どのような場合に正当化されるのか見てみましょう. 広義積分のアーベル和 定理 $[a,\infty)$上で区分的連続な…

【メモ】個人的TOEIC戦略

TOEICを受けることになりました. また受験するときのために,自分なりの戦略を残しておきます. (追記) 点数は800点くらいでした. 本番では,途中で集中力が続かなくなってしまいました. 長時間のリスニング・リーティングの訓練をしておけば良かったで…

【例】選出公理(選択公理,Axiom of choice)の適用例

どこで使われているのかわかりにくい,選出公理. その適用例を紹介します. 選出公理 直積 $(A_\lambda)_{\lambda\in\Lambda}$を集合族とする.このとき,集合 \[ \prod_{\lambda\in\Lambda}A_\lambda:= \left\{a:\Lambda\rightarrow \bigcup_{\lambda\in\L…

【点推定】平均・分散・標準偏差を推定する方法

次のような,1から4までの数字の書いてある玉が10個入った袋があるとします: ①:1個,②:2個,③:3個,④:4個この袋の中身を知らない人が,「袋の中の玉を1つ取り出す→元に戻す」という操作 を$N$回繰り返して平均・分散・標準偏差を推定する方法について考…

【例】よく使うバッチファイル

個人的によく使うものをリスト化しています. ループ 『ループ回数』を変数として使って何か処理をしたい場合. 例えば,奇数番号を含む文字列を生成したい場合など. REM ***************************************** REM * Template of loop REM * Repeat u…

【Tikz】回転体の図

Tex

曲面積の求め方 - Untitledで作成した図のメモ. tikz, pgfplotで作成しました. \begin{tikzpicture} \begin{axis}[ title={Rotation of $f(x)$}, colormap/greenyellow, view={30}{30},%15,30 axis lines=center, ticks=none, xmin=0, xmax=2.5, ymin=-40,…

【導出】曲面積の求め方〜回転体の表面積も定義から導ける

曲面積の一般的な定義を「理解」しておけば,派生公式を覚えていなくても計算ができます. 具体例を交えながら見ていきましょう.この記事を読めば,式(\ref{eq:surf_area})さえ理解しておけば,派生する式を機械的に導くことができることがわかります. 曲…

【TikZ】2次元回転行列の導出で用いた図

Tex

以前の記事 にTikZで作った図を追加しました. Texのコードを残しておきます. \begin{figure}[htbp] % 左の図 \begin{minipage}{0.3\hsize} \begin{center} \begin{tikzpicture}[scale=2] % 座標軸 \draw [thick, -stealth](-0.5,0)--(3/2,0) node [anchor=…

確率とは何か〜条件付き確率を直感的に理解する

確率とは「"起こりやすさ"の比率」である これが一番簡単な説明じゃないかと思います.つまり,比較対象がないと確率(起こりやすさ)は計算できません. 「・・・が***に比べてどのくらい起こりやすいか?」を計算したものが「確率」なのです. 例えば,…

『0.999・・・=1』 を理解する〜10進法の定義に戻って考える

0.999・・・=1? あれは小学生のころ...それとも中学生のときでしょうか. \begin{align} 0.999\cdots =1 \tag{1} \label{eq:0.999=1} \end{align} という式に出会いました. 学校で先生に習ったのか,友達に教えてもらったのか... あるいは「数の悪魔…

ユークリッドの互除法

ユークリッドの互除法は,整数$a$と$b$の最大公約数を求める方法です.今,$a>b>0$としましょう. $a$を$b$で割った時の商を$q_1$, 余りを$r_1$とすると, \begin{align} a=bq_1+r_1 \qquad(0\leq r_1 \end{align} と書くことができます. よって,以下のこ…

【解法】因数分解の手順

高校に入ってすぐに因数分解の公式に苦しんだ人,結構いるんじゃないでしょうか?ここでは,因数分解のコツについて紹介します. マスターできれば,複雑な公式を覚えないで済ますことができます. 手順 因数分解は,以下の手順で行います: 因数分解の手順 …

「1=-1」!?・・・複素数の平方根

高校生や大学の複素解析を学んだとき,「平方根」で混乱したことはないでしょうか? パラドックス? 複素数の平方根を用いた,こんな計算をご存知でしょうか? \begin{align} 1=\sqrt{1} =\sqrt{-1\cdot -1} =\sqrt{-1}\sqrt{-1} =-1 \tag{1} \label{eq:2016…

【計算方法】「ポテンシャルエネルギー」の考え方

力学で「位置エネルギー」を求める問題や, 電磁気学で「電位」を求める問題に困っている人には役立つかもしれません. ポテンシャルエネルギーを計算する2つの考え方 位置$\boldsymbol{r}$で物体に働く力$\boldsymbol{F}(\boldsymbol{r})$が与えられている…

【導出】超簡単! 回転行列の導き方

覚える必要はありません.簡単に求めることができます.導出方法は2次元回転行列でも,3次元回転行列も同じです. もっと一般に,行列全般の導出に応用できます. ぜひ身につけましょう.【前提知識】 高校生でも,行列の計算方法さえ知っていれば理解できま…

黒体輻射 (Black body radiation)

黒体とは あらゆる電磁波を吸収する物体を黒体 (Black body)と呼びます.例えば,「空洞」に,空洞に比べ小さな穴を開けたものは黒体とみなせます. この「空洞」で電磁波の輻射について考察したのがPlanckです.とはいえ,現実には完全な黒体は存在せず,吸…

【導出】10進数から2進数への変換法

2進数の各桁を求めるのだって,10進数の各桁を求めるのと同じ操作に過ぎないのです. 難しいことは何もありません.まず,2進数とは何だったか思い出してみましょう. 2進数とは 2進数とは, \begin{align} X= a_N\cdot 2^N+\cdots + a_0\cdot 2^0 +a_{-1}\c…

Shell Scriptでのファイル名一括編集

以前の記事のShell Script版を書こうと思ったのですが, こちらは結構まとまった記事があるようです(参考記事).これらの記事を参考に,バッチファイルの記事と対応させたShell Scriptの例を作ってみます. Shell Scriptの例 ファイル名切り出し 拡張子が".t…

【まとめ】バッチファイルによるファイル名一括変更

バッチファイルで「フォルダ内のファイルの名前」を一括変更する方法を紹介します. 検索してもまとまった記事がなかったので,まとめてみました (Shell Script版はこちら).【内容について】 この記事の例を組み合わせることで, ファイル名の切り出し ファ…

スターリングの公式 (Stirling's approximation/Stirling's formula)

統計力学でよく出てくるStirlingの公式について考えてみましょう. スターリングの公式 (Stirling's approximation/Stirling's formula)とは? 物理の教科書では \begin{align} \log N!=N(\log N-1)+O(\log N)\qquad(N\rightarrow\infty) \tag{1}\label{eq:s…

Landau symbol (ランダウの記号)

微小量の高次項を表すときに,$o(\cdot)$や$O(\cdot)$といった記号がよくあらわれます. 例えば,統計力学においては$O(N)$といった記号を頻繁に見かけることになります($N$は粒子数). これは"オーダー"と呼ばれる記号ですが,$o$と$O$は異なる意味を持ちま…

回路あれこれ〜Maxwell方程式とのつながり

高校で習う程度の回路の知識が,電磁気学の理論 (Maxwell方程式)と回路がどうつながっているの? という疑問を解消する内容にしていく予定です. Kirchhoffの法則 第一法則 回路の任意の結合点において \begin{align} \sum_k I_k =0 \end{align} が成立する…

【定理・例】Lebesgue積分論のご利益2・極限と積分の順序交換

微分・積分の順序交換については,以下の記事を参照して下さい: 【定理・例】Lebesgue積分論のご利益1・微積分の順序交換 - UNTITLED MEMORANDUM 優収束定理 (Dominated convergence theorem) 優収束定理 (Dominated convergence theorem) $(X,\mathfrak{M…

【判定法・例】正項級数の収束判定

この記事では,正項級数の収束判定に関する事項をまとめます.正項級数というと特殊な感じがしますね.しかし, \begin{align} \left| \sum_n a_n\right|\leq \sum_n |a_n| \end{align} から \begin{align} \underset{\text{正項級数!}}{\underline {\sum_n…

中心極限定理 (Central limit theorem, CLT) とその応用例

中心極限定理 平均$\mu$,分散$\sigma^2$の独立同一分布に従う確率変数列$X_1,...,X_n$を考える. このとき, \begin{align} S_n:=\frac{X_1+\cdots +X_n}{n} \end{align} に対して \begin{align} \lim_{n\to\infty} P\Biggl(\frac{\sqrt{n}(S_n-\mu)}{\sigm…

【定理・例】Lebesgue積分論のご利益1・微積分の順序交換

極限記号$\lim$と,積分$\displaystyle\int$の順序交換(優収束定理)については,次の記事を参照して下さい: 【定理・例】Lebesgue積分論のご利益2・極限と積分の順序交換とその応用例 - UNTITLED MEMORANDUM 定理 定理(微積分の順序交換) $(X,\Omega,\m…

$\dfrac{\sin x}{x}$はRiemann積分可能だが,Lebesgue積分は不可能!

RiemannとLebesgue積分の関係 RiemannとLebesgue積分の間には,以下のような関係があります: (狭義) Riemann積分可能な関数は,Lebesgue積分も可能.このとき,両者の積分は一致する. $f$が広義Riemann積分可能 (有限) でも,$f\geq 0$でないときには,Leb…

Chebyshev’s inequality (チェビシェフの不等式) とその応用例

Chebyshevの不等式 期待値が$\mu$,分散が$\sigma^2$の確率変数$X$と任意の$k>0$に対して,以下のChebyshevの不等式が成立します: Chebyshevの不等式 \begin{align} P(|X-\mu|\geq k\sigma)\leq \frac{1}{k^2} \tag{1}\label{eq:Chebyshev1} \end{align} ま…

Bayes' theorem (ベイズの定理)とその応用例

ベイズの定理 以下の等式が成立することをベイズの定理と呼びます: ベイズの定理 \begin{align} P(B|A)=\frac{P(B)P(A|B)}{P(A)} \end{align} この式は,条件付き確率の定義 \begin{align} P(B|A)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)},\qquad P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}…

【導出】ベクトル解析の公式集

ここでは,ベクトル解析の公式の導出をします.力学・電磁気学・流体力学などを学ぶ上で,これらの計算はとても重要です. 計算練習をして,公式をすぐに導出できるようになりましょう! この記事では簡単のため,微分演算子を $$\partial_i:=\dfrac{\partia…

【導出】完全反対称テンソル (Levi-Civita 記号) の縮約公式

はじめに ベクトルの計算で欠かせない,完全反対称テンソル (レビ・チビタ記号) の縮約公式. (ベクトル解析での応用例はこちら)初めて見たとき,えぇ・・・これ覚えるの?と思う人も多いのではないでしょうか. でも,この縮約公式は簡単に導けるのです.慣…

【導出】積分公式 (三角関数,双曲線関数,指数関数,対数関数など)

基本的な不定積分公式を導出します.以下では$a>0$とし,積分定数は省略します. 三角関数 (sin, cos, tan, cot=1/tan, sec=1/cos, cosec=1/sin) \begin{align} \sec x=\frac{1}{\cos x},\quad \mathrm{cosec\,} x=\frac{1}{\sin x},\quad \cot x=\frac{1}{\…

【計算】金融商品を「毎回一定数」買い付ける場合のリターン

ドル・コスト平均法の記事では,毎回一定金額だけ金融商品を購入する投資方法について考えました.ここでは,毎回一定数の金融商品を購入する場合を考えてみましょう. 以下,金融商品は株式であるとします.$n$ステップ目の株価を$p_n$とし,毎回$S$だけの…

行列の対角化〜「基底を取り直す」ことの意味

以前紹介した行列表示 行列表示〜導入からPauli行列の導出まで - UNTITLED MEMORANDUM を学ぶと,対角化が「基底を取り直す」操作であることが理解できます. 対角化とは何なのか? 対角化とは, 行列$\hat{M}$の基底を上手く取り直し, 上手くとった基底で$…

行列表示〜導入からPauli行列の導出まで

線形代数や量子力学では「線形写像/演算子を行列表示しなさい」という問題に出会います.以下で「行列表示」とは一体何なのかを解説します. 行列表示とは? 結論からいうと,「演算子$\hat{A}$を基底$x_1,x_2,...,x_n$について行列表示せよ」とは, $x_i$を…

【導出】ドル・コスト平均法のリターン

最近,確定拠出年金などの積立投資で 「ドル・コスト平均法」の効果で取得単価が下げられるメリットがありますよ〜 なんて記事をよく見かけますね.一体どういうことなのでしょうか?ちょいちょいと計算してみましょう. リターンを求めるだけなので,中学生…

【例】サイコロ1個で考える条件付き確率

私は中学生のとき,確率の問題が苦手でした. 中でも,納得できるまでにすごく時間がかかったのが「条件付き確率」の問題です.何事も,理解のコツは「極端な例」を考えることです.例えば, 数学なら,すごく数が小さい場合/大きい場合を考える. 物理なら…

Monty Hall problem (モンティ・ホール問題)

Monty Hall problem (モンティ・ホール問題) Monty Hall problem (モンティ・ホール問題)とは, モンティ・ホール問題 3つのドアがあり,そのうち1つが当たりです. あなたは当たりだと思うドアを1つ選びました. すると,出題者は「あなたが選ばなかった2つ…