反例

【定理/反例】極限操作の入れ替え

この類の反例は,絵を描けば「なぜ極限操作が交換できないか」が簡単に理解できます. limとlimの入れ替え 極限記号が入れ替えられない例 \begin{align} a_{m,n}=\frac{m}{m+n} \end{align} を考えれば, \begin{align} \lim_{m\to\infty} a_{m,n}=1&\qquad(…

$\dfrac{\sin x}{x}$はRiemann積分可能だが,Lebesgue積分は不可能!

RiemannとLebesgue積分の関係 RiemannとLebesgue積分の間には,以下のような関係があります: (狭義) Riemann積分可能な関数は,Lebesgue積分も可能.このとき,両者の積分は一致する. $f$が広義Riemann積分可能 (有限) でも,$f\geq 0$でないときには,Leb…