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反例

【定理/反例】極限操作の入れ替え

limとlimの入れ替え 極限記号が入れ替えられない例 \begin{align} a_{m,n}=\frac{m}{m+n} \end{align} を考えれば, \begin{align} \lim_{m\to\infty} a_{m,n}=1&\qquad(\text{for all $n$})\\ \lim_{n\to\infty} a_{m,n}=0&\qquad(\text{for all $m$}) \end…

$\dfrac{\sin x}{x}$はRiemann積分可能だが,Lebesgue積分は不可能!

RiemannとLebesgue積分の関係 RiemannとLebesgue積分の間には,以下のような関係があります: (狭義) Riemann積分可能な関数は,Lebesgue積分も可能.このとき,両者の積分は一致する. $f$が広義Riemann積分可能 (有限) でも,$f\geq 0$でないときには,Leb…