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確率とは何か〜条件付き確率を直感的に理解する

確率とは「"起こりやすさ"の比率」である これが一番簡単な説明じゃないかと思います.つまり,比較対象がないと確率(起こりやすさ)は計算できません. 「・・・が***に比べてどのくらい起こりやすいか?」を計算したものが「確率」なのです. 例えば,…

中心極限定理 (Central limit theorem, CLT) とその応用例

中心極限定理 平均$\mu$,分散$\sigma^2$の独立同一分布に従う確率変数列$X_1,...,X_n$を考える. このとき, \begin{align} S_n:=\frac{X_1+\cdots +X_n}{n} \end{align} に対して \begin{align} \lim_{n\to\infty} P\Biggl(\frac{\sqrt{n}(S_n-\mu)}{\sigm…

Chebyshev’s inequality (チェビシェフの不等式) とその応用例

Chebyshevの不等式 期待値が$\mu$,分散が$\sigma^2$の確率変数$X$と任意の$k>0$に対して,以下のChebyshevの不等式が成立します: Chebyshevの不等式 \begin{align} P(|X-\mu|\geq k\sigma)\leq \frac{1}{k^2} \tag{1}\label{eq:Chebyshev1} \end{align} ま…

Bayes' theorem (ベイズの定理)とその応用例

ベイズの定理 以下の等式が成立することをベイズの定理と呼びます: ベイズの定理 \begin{align} P(B|A)=\frac{P(B)P(A|B)}{P(A)} \end{align} この式は,条件付き確率の定義 \begin{align} P(B|A)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)},\qquad P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}…

【例】サイコロ1個で考える条件付き確率

私は中学生のとき,確率の問題が苦手でした. 中でも,納得できるまでにすごく時間がかかったのが「条件付き確率」の問題です.何事も,理解のコツは「極端な例」を考えることです.例えば, 数学なら,すごく数が小さい場合/大きい場合を考える. 物理なら…

Monty Hall problem (モンティ・ホール問題)

Monty Hall problem (モンティ・ホール問題) Monty Hall problem (モンティ・ホール問題)とは, モンティ・ホール問題 3つのドアがあり,そのうち1つが当たりです. あなたは当たりだと思うドアを1つ選びました. すると,出題者は「あなたが選ばなかった2つ…