Notes_JP

あまり知られていないこと

解析学

【定理/反例】極限操作の入れ替え

絵(グラフ)で考えることが重要です.以下のような"当たり前"のポイントさせ掴んでいれば,反例を考えることは簡単です: 「一様収束」は,『「収束先の関数から一定距離にある床と天井」が迫ってくる』イメージ. 微分はグラフの傾き. 【目次】 limとlimの…

【例】収束因子

物理では,広義積分の計算において収束因子を掛けて収束性を良くし, 最後に収束因子の影響を除くような操作を行うことがあります. 数学的には,どのような場合に正当化されるのか見てみましょう. 広義積分のアーベル和 定理 $[a,\infty)$上で区分的連続な…

【導出】曲面積の求め方〜回転体の表面積も定義から導ける

曲面積の一般的な定義を「理解」しておけば,派生公式を覚えていなくても計算ができます. 具体例を交えながら見ていきましょう.この記事を読めば,曲面積の定義式(\ref{eq:surf_area})さえ理解しておけば,派生公式を覚える必要はないことがわかります. …

『0.999・・・=1』 を理解する〜10進法の定義に戻って考える

0.999・・・=1って何だ? 実数の表し方 (10進法) やっと,0.999・・・=1の意味が分かった! 2進数でも同じことが起きる! 2進数の定義 2進数で"1"を2通りの方法で表す $N$進数でも同じことが起きる! 0.999・・・=1って何だ? あれは小学生のころ...それ…

【考察】スターリングの公式 (Stirling's approximation/Stirling's formula)

統計力学でよく出てくるStirlingの公式について考えてみましょう. 【目次】 スターリングの公式 (Stirling's approximation/Stirling's formula)とは? 式 (\ref{eq:st_phys})の導出 式 (\ref{eq:st_phys})と式 (\ref{eq:st_math})の関係について スターリ…

【例】Landau symbol (ランダウの記号)

微小量の高次項を表すときに,$o(\cdot)$や$O(\cdot)$といった記号がよくあらわれます. 例えば,微積分学の教科書を開けば至る所で見ることができます.また,統計力学においては$O(N)$といった記号を頻繁に見かけます($N$は粒子数). これは"オーダー"と呼…

【定理・例】Lebesgue積分論のご利益2・limと積分の順序交換 (優収束定理)

優収束定理とその適用例を紹介します. 微分・積分の順序交換については,以下の記事を参照して下さい: 【定理・例】Lebesgue積分論のご利益1・微積分の順序交換 - Notes_JP 【目次】 優収束定理 (Dominated convergence theorem) 例1 参考文献 優収束定理…

【判定法・例】正項級数の収束判定

この記事では,正項級数の収束判定に関する事項をまとめます.正項級数というと特殊な感じがしますね.しかし, \begin{align} \left| \sum_n a_n\right|\leq \sum_n |a_n| \end{align} から \begin{align} \underset{\text{正項級数!}}{\underline {\sum_n…

【定理・例】Lebesgue積分論のご利益1・微積分の順序交換

微積分の順序交換に関する定理と,応用例を紹介します. 極限記号$\lim$と,積分$\displaystyle\int$の順序交換(優収束定理)については,次の記事を参照して下さい: 【定理・例】Lebesgue積分論のご利益2・極限と積分の順序交換 - Notes_JP 【目次】 定理…

【反例】$\dfrac{\sin x}{x}$はRiemann積分可能だが,Lebesgue積分は不可能!

【目次】 RiemannとLebesgue積分の関係 広義Riemann積分の計算方法 Lebesgue可積分でないこと 注意点 RiemannとLebesgue積分の関係 RiemannとLebesgue積分の間には,以下のような関係があります: (狭義) Riemann積分可能な関数は,Lebesgue積分も可能.この…