UNTITLED MEMORANDUM

あまり知られていないこと

解析学

【定理/反例】極限操作の入れ替え

絵(グラフ)で考えることが重要です.以下のような"当たり前"のポイントさせ掴んでいれば,反例を考えることは簡単です: 「一様収束」は,『「収束先の関数から一定距離にある床と天井」が迫ってくる』イメージ. 微分はグラフの傾き. 【目次】 limとlimの…

収束因子

物理では,広義積分の計算において収束因子を掛けて収束性を良くし, 最後に収束因子の影響を除くような操作を行うことがあります. 数学的には,どのような場合に正当化されるのか見てみましょう. 広義積分のアーベル和 定理 $[a,\infty)$上で区分的連続な…

【導出】曲面積の求め方〜回転体の表面積も定義から導ける

曲面積の一般的な定義を「理解」しておけば,派生公式を覚えていなくても計算ができます. 具体例を交えながら見ていきましょう.この記事を読めば,曲面積の定義式(\ref{eq:surf_area})さえ理解しておけば,派生公式を覚える必要はないことがわかります. …

『0.999・・・=1』 を理解する〜10進法の定義に戻って考える

0.999・・・=1って何だ? 実数の表し方 (10進法) やっと,0.999・・・=1の意味が分かった! 2進数でも同じことが起きる! 2進数の定義 2進数で"1"を2通りの方法で表す $N$進数でも同じことが起きる! 0.999・・・=1って何だ? あれは小学生のころ...それ…

Landau symbol (ランダウの記号)

微小量の高次項を表すときに,$o(\cdot)$や$O(\cdot)$といった記号がよくあらわれます. 例えば,微積分学の教科書を開けば至る所で見ることができます.また,統計力学においては$O(N)$といった記号を頻繁に見かけます($N$は粒子数). これは"オーダー"と呼…

【定理・例】Lebesgue積分論のご利益2・極限と積分の順序交換

微分・積分の順序交換については,以下の記事を参照して下さい: 【定理・例】Lebesgue積分論のご利益1・微積分の順序交換 - UNTITLED MEMORANDUM 優収束定理 (Dominated convergence theorem) 優収束定理 (Dominated convergence theorem) $(X,\mathfrak{M…

【判定法・例】正項級数の収束判定

この記事では,正項級数の収束判定に関する事項をまとめます.正項級数というと特殊な感じがしますね.しかし, \begin{align} \left| \sum_n a_n\right|\leq \sum_n |a_n| \end{align} から \begin{align} \underset{\text{正項級数!}}{\underline {\sum_n…

【定理・例】Lebesgue積分論のご利益1・微積分の順序交換

極限記号$\lim$と,積分$\displaystyle\int$の順序交換(優収束定理)については,次の記事を参照して下さい: 【定理・例】Lebesgue積分論のご利益2・極限と積分の順序交換 - UNTITLED MEMORANDUM 定理 定理(微積分の順序交換) $(X,\Omega,\mu)$を測度空…

$\dfrac{\sin x}{x}$はRiemann積分可能だが,Lebesgue積分は不可能!

RiemannとLebesgue積分の関係 RiemannとLebesgue積分の間には,以下のような関係があります: (狭義) Riemann積分可能な関数は,Lebesgue積分も可能.このとき,両者の積分は一致する. $f$が広義Riemann積分可能 (有限) でも,$f\geq 0$でないときには,Leb…