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解析学

【定理/反例】極限操作の入れ替え

limとlimの入れ替え 極限記号が入れ替えられない例 \begin{align} a_{m,n}=\frac{m}{m+n} \end{align} を考えれば, \begin{align} \lim_{m\to\infty} a_{m,n}=1&\qquad(\text{for all $n$})\\ \lim_{n\to\infty} a_{m,n}=0&\qquad(\text{for all $m$}) \end…

収束因子

物理では,広義積分の計算において収束因子を掛けて収束性を良くし, 最後に収束因子の影響を除くような操作を行うことがあります. 数学的には,どのような場合に正当化されるのか見てみましょう. 広義積分のアーベル和 定理 $[a,\infty)$上で区分的連続な…

【導出】曲面積の求め方〜回転体の表面積も定義から導ける

曲面積の一般的な定義を「理解」しておけば,派生公式を覚えていなくても計算ができます. 具体例を交えながら見ていきましょう.この記事を読めば,式(\ref{eq:surf_area})さえ理解しておけば,派生する式を機械的に導くことができることがわかります. 曲…

『0.999・・・=1』 を理解する〜10進法の定義に戻って考える

0.999・・・=1? あれは小学生のころ...それとも中学生のときでしょうか. \begin{align} 0.999\cdots =1 \tag{1} \label{eq:0.999=1} \end{align} という式に出会いました. 学校で先生に習ったのか,友達に教えてもらったのか... あるいは「数の悪魔…

Landau symbol (ランダウの記号)

微小量の高次項を表すときに,$o(\cdot)$や$O(\cdot)$といった記号がよくあらわれます. 例えば,統計力学においては$O(N)$といった記号を頻繁に見かけることになります($N$は粒子数). これは"オーダー"と呼ばれる記号ですが,$o$と$O$は異なる意味を持ちま…

【判定法・例】正項級数の収束判定

この記事では,正項級数の収束判定に関する事項をまとめます. 正項級数というと特殊な感じがしますが,級数の絶対収束を考える際の \begin{align} \sum_n |a_n| \end{align} は正項級数ですから,実際はよく出てきます. 正項級数の収束判定に関する定理 以…

【例】Lebesgue積分論のご利益1・微積分の順序交換とその応用例

定理(微積分の順序交換) $(X,\Omega,\mu)$を測度空間,$f$を以下の条件を満たす$X\times (a,b)$上の関数とする: 任意の$\alpha\in (a,b)$に対して,$f_\alpha: X\ni x\mapsto f(x,\alpha)$が$X$上可積分. 任意の$x\in X$に対して,$f_x: (a,b)\ni \alpha…