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あまり知られていないこと

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【定理/反例】極限操作の入れ替え

絵(グラフ)で考えることが重要です.以下のような"当たり前"のポイントさせ掴んでいれば,反例を考えることは簡単です: 「一様収束」は,『「収束先の関数から一定距離にある床と天井」が迫ってくる』イメージ. 微分はグラフの傾き. 【目次】 limとlimの…

【例】選出公理(選択公理,Axiom of choice)の適用例

どこで使われているのかわかりにくい,選出公理. その適用例を紹介します. 【目次】 選出公理 選出公理の適用例 例1:任意の無限集合は, 可算無限集合を部分集合として含む. 証明 参考文献 選出公理 直積 $(A_\lambda)_{\lambda\in\Lambda}$を集合族とす…

【点推定】平均・分散・標準偏差を推定する方法

【目次】 疑問:平均・分散・標準偏差を推定するには? 平均値を推定する方法? 分散を推定する方法? この推定法は正しいのか? 一般化 平均値 分散 まとめ 参考文献 疑問:平均・分散・標準偏差を推定するには? 次のような,1から4までの数字の書いてある玉…

ユークリッドの互除法

ユークリッドの互除法は,整数$a$と$b$の最大公約数を求める方法です.今,$a>b>0$としましょう. $a$を$b$で割った時の商を$q_1$, 余りを$r_1$とすると, \begin{align} a=bq_1+r_1 \qquad(0\leq r_1 \end{align} と書くことができます. よって,以下のこ…

【まとめ】黒体輻射/熱放射に関する基礎知識

黒体輻射(Black body radiation)についての計算を整理します. 機会があれば,場の理論的なアプローチも書きたいと思っています. 【目次】 黒体とは Planckの輻射公式 エネルギー期待値(1モード) 状態数 エネルギー密度 (Planckの輻射公式) Stefan-Boltzm…

【例】Landau symbol (ランダウの記号)

微小量の高次項を表すときに,$o(\cdot)$や$O(\cdot)$といった記号がよくあらわれます. 例えば,微積分学の教科書を開けば至る所で見ることができます.また,統計力学においては$O(N)$といった記号を頻繁に見かけます($N$は粒子数). これは"オーダー"と呼…

電気回路〜Maxwell方程式で理解する

高校で習う程度の回路の知識が,電磁気学の理論 (Maxwell方程式)と回路がどうつながっているの? という疑問を解消する内容にしていく予定です. Kirchhoffの法則 第一法則 回路の任意の結合点において \begin{align} \sum_k I_k =0 \end{align} が成立する…

【定理・例】Lebesgue積分論のご利益2・limと積分の順序交換 (優収束定理)

優収束定理とその適用例を紹介します. 微分・積分の順序交換については,以下の記事を参照して下さい: 【定理・例】Lebesgue積分論のご利益1・微積分の順序交換 - Notes_JP 【目次】 優収束定理 (Dominated convergence theorem) 例1 参考文献 優収束定理…

【判定法・例】正項級数の収束判定

この記事では,正項級数の収束判定に関する事項をまとめます.正項級数というと特殊な感じがしますね.しかし, \begin{align} \left| \sum_n a_n\right|\leq \sum_n |a_n| \end{align} から \begin{align} \underset{\text{正項級数!}}{\underline {\sum_n…

【例】中心極限定理の応用:測定値と標準誤差,コイン投げ

世の中に正規分布があふれる背景の一つに,中心極限定理が成り立つことが挙げられます. 測定の際に現れる標準誤差の理解に欠かせないなど,応用上でも重要です. 【目次】 中心極限定理 (Central limit theorem, CLT) 応用例 測定値と標準誤差 Gaussの誤差…

【定理・例】Lebesgue積分論のご利益1・微積分の順序交換

微積分の順序交換に関する定理と,応用例を紹介します. 極限記号$\lim$と,積分$\displaystyle\int$の順序交換(優収束定理)については,次の記事を参照して下さい: 【定理・例】Lebesgue積分論のご利益2・極限と積分の順序交換 - Notes_JP 【目次】 定理…

【反例】$\dfrac{\sin x}{x}$はRiemann積分可能だが,Lebesgue積分は不可能!

【目次】 RiemannとLebesgue積分の関係 広義Riemann積分の計算方法 Lebesgue可積分でないこと 注意点 RiemannとLebesgue積分の関係 RiemannとLebesgue積分の間には,以下のような関係があります: (狭義) Riemann積分可能な関数は,Lebesgue積分も可能.この…

【例】Chebyshev’s inequality (チェビシェフの不等式) とその応用例

Chebyshevの不等式から,標準偏差がバラツキの尺度として用いられる理由がわかります. 【目次】 Chebyshevの不等式 Chebyshevの不等式の意味 導出 応用例 コイン投げ 参考文献 Chebyshevの不等式 期待値が$\mu$,分散が$\sigma^2$の確率変数$X$と任意の$k>0…

【導出】積分公式 (三角関数,双曲線関数,指数関数,対数関数など)

基本的な不定積分公式を導出します.以下では$a>0$とし,積分定数は省略します. 三角関数 (sin, cos, tan, cot=1/tan, sec=1/cos, cosec=1/sin) 双曲線関数 (sinh, cosh) 指数関数 対数関数 有理関数 (1/1+x^2, 1/x^2+a^2, 1/x^2-a^2) 無理関数 (1/√1-x^2, …