UNTITLED MEMORANDUM

あまり知られていないこと

Draft

【導出】極座標のラプラシアン〜『簡単に・数行で』導く方法

部分積分を用いると,偏微分を地道に計算するよりもはるかに簡単に「極座標のラプラシアン/発散」を導出できます. (実際,"数行"の式変形で済むことをを見てみましょう!)もちろん,一般の曲線座標でも同じ方法で計算することができます.ここでは,極座…

【導出】等距離変換とLorentz変換

ユークリッド空間での等距離変換が回転と反転で表されることはよく知られています. 同じように,ミンコフスキー空間での等距離変換(Lorentz変換)がどのような形で表されるのか計算してみましょう. 以下の記事の知識を仮定します: 【導出】超簡単! 回転行…

【定理/反例】極限操作の入れ替え

絵(グラフ)で考えることが重要です.以下のような"当たり前"のポイントさせ掴んでいれば,反例を考えることは簡単です: 「一様収束」は,『「収束先の関数から一定距離にある床と天井」が迫ってくる』イメージ. 微分はグラフの傾き. 【目次】 limとlimの…

【例】選出公理(選択公理,Axiom of choice)の適用例

どこで使われているのかわかりにくい,選出公理. その適用例を紹介します. 【目次】 選出公理 選出公理の適用例 例1:任意の無限集合は, 可算無限集合を部分集合として含む. 証明 参考文献 選出公理 直積 $(A_\lambda)_{\lambda\in\Lambda}$を集合族とす…

【点推定】平均・分散・標準偏差を推定する方法

【目次】 疑問:平均・分散・標準偏差を推定するには? 平均値を推定する方法? 分散を推定する方法? この推定法は正しいのか? 一般化 平均値 分散 まとめ 参考文献 疑問:平均・分散・標準偏差を推定するには? 次のような,1から4までの数字の書いてある玉…

ユークリッドの互除法

ユークリッドの互除法は,整数$a$と$b$の最大公約数を求める方法です.今,$a>b>0$としましょう. $a$を$b$で割った時の商を$q_1$, 余りを$r_1$とすると, \begin{align} a=bq_1+r_1 \qquad(0\leq r_1 \end{align} と書くことができます. よって,以下のこ…

黒体輻射 (Black body radiation)

【目次】 黒体とは Planckの輻射公式 エネルギー期待値(1モード) 状態数 エネルギー密度 Stefan-Boltzmannの法則 空洞放射 形態係数 参考文献 黒体とは あらゆる電磁波を吸収する物体を黒体 (Black body)と呼びます.例えば,「空洞」に,空洞に比べ小さな…

Landau symbol (ランダウの記号)

微小量の高次項を表すときに,$o(\cdot)$や$O(\cdot)$といった記号がよくあらわれます. 例えば,微積分学の教科書を開けば至る所で見ることができます.また,統計力学においては$O(N)$といった記号を頻繁に見かけます($N$は粒子数). これは"オーダー"と呼…

電気回路〜Maxwell方程式で理解する

高校で習う程度の回路の知識が,電磁気学の理論 (Maxwell方程式)と回路がどうつながっているの? という疑問を解消する内容にしていく予定です. Kirchhoffの法則 第一法則 回路の任意の結合点において \begin{align} \sum_k I_k =0 \end{align} が成立する…

【定理・例】Lebesgue積分論のご利益2・極限と積分の順序交換

微分・積分の順序交換については,以下の記事を参照して下さい: 【定理・例】Lebesgue積分論のご利益1・微積分の順序交換 - UNTITLED MEMORANDUM 優収束定理 (Dominated convergence theorem) 優収束定理 (Dominated convergence theorem) $(X,\mathfrak{M…

【判定法・例】正項級数の収束判定

この記事では,正項級数の収束判定に関する事項をまとめます.正項級数というと特殊な感じがしますね.しかし, \begin{align} \left| \sum_n a_n\right|\leq \sum_n |a_n| \end{align} から \begin{align} \underset{\text{正項級数!}}{\underline {\sum_n…

【定理・例】Lebesgue積分論のご利益1・微積分の順序交換

極限記号$\lim$と,積分$\displaystyle\int$の順序交換(優収束定理)については,次の記事を参照して下さい: 【定理・例】Lebesgue積分論のご利益2・極限と積分の順序交換 - UNTITLED MEMORANDUM 定理 定理(微積分の順序交換) $(X,\Omega,\mu)$を測度空…

$\dfrac{\sin x}{x}$はRiemann積分可能だが,Lebesgue積分は不可能!

RiemannとLebesgue積分の関係 RiemannとLebesgue積分の間には,以下のような関係があります: (狭義) Riemann積分可能な関数は,Lebesgue積分も可能.このとき,両者の積分は一致する. $f$が広義Riemann積分可能 (有限) でも,$f\geq 0$でないときには,Leb…

Chebyshev’s inequality (チェビシェフの不等式) とその応用例

Chebyshevの不等式 期待値が$\mu$,分散が$\sigma^2$の確率変数$X$と任意の$k>0$に対して,以下のChebyshevの不等式が成立します: Chebyshevの不等式 \begin{align} P(|X-\mu|\geq k\sigma)\leq \frac{1}{k^2} \tag{1}\label{eq:Chebyshev1} \end{align} ま…

【導出】積分公式 (三角関数,双曲線関数,指数関数,対数関数など)

基本的な不定積分公式を導出します.以下では$a>0$とし,積分定数は省略します. 三角関数 (sin, cos, tan, cot=1/tan, sec=1/cos, cosec=1/sin) 双曲線関数 (sinh, cosh) 指数関数 対数関数 有理関数 (1/1+x^2, 1/x^2+a^2, 1/x^2-a^2) 無理関数 (1/√1-x^2, …