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【導出】等距離変換とLorentz変換

ユークリッド空間での等距離変換が回転と反転で表されることはよく知られています. 同じように,ミンコフスキー空間での等距離変換(Lorentz変換)がどのような形で表されるのか計算してみましょう. 以下の記事の知識を仮定します: 【導出】超簡単! 回転行…

【定理/反例】極限操作の入れ替え

この類の反例は,絵を描けば「なぜ極限操作が交換できないか」が簡単に理解できます. 【目次】 limとlimの入れ替え 極限記号が入れ替えられない例 積分とlimの入れ替え 非有界区間で一様収束するが,$\displaystyle\lim_{n\to\infty}$と$\displaystyle\int$…

【例】選出公理(選択公理,Axiom of choice)の適用例

どこで使われているのかわかりにくい,選出公理. その適用例を紹介します. 選出公理 直積 $(A_\lambda)_{\lambda\in\Lambda}$を集合族とする.このとき,集合 \[ \prod_{\lambda\in\Lambda}A_\lambda:= \left\{a:\Lambda\rightarrow \bigcup_{\lambda\in\L…

【点推定】平均・分散・標準偏差を推定する方法

次のような,1から4までの数字の書いてある玉が10個入った袋があるとします: ①:1個,②:2個,③:3個,④:4個この袋の中身を知らない人が,「袋の中の玉を1つ取り出す→元に戻す」という操作 を$N$回繰り返して平均・分散・標準偏差を推定する方法について考…

【メモ】株式投資に役立つ情報

株式投資に関して,調べたことをメモしておきます. 注意事項 ※投資は自己責任でお願いします. ※間違いや,古い情報が含まれる可能性があります. 日本株 市場スケジュール 市場スケジュール:日本株 - トレーダーズ・ウェブ(株式情報、FX情報) 空売り情報…

黒体輻射 (Black body radiation)

黒体とは あらゆる電磁波を吸収する物体を黒体 (Black body)と呼びます.例えば,「空洞」に,空洞に比べ小さな穴を開けたものは黒体とみなせます. この「空洞」で電磁波の輻射について考察したのがPlanckです.とはいえ,現実には完全な黒体は存在せず,吸…

Landau symbol (ランダウの記号)

微小量の高次項を表すときに,$o(\cdot)$や$O(\cdot)$といった記号がよくあらわれます. 例えば,統計力学においては$O(N)$といった記号を頻繁に見かけることになります($N$は粒子数). これは"オーダー"と呼ばれる記号ですが,$o$と$O$は異なる意味を持ちま…

電気回路〜Maxwell方程式で理解する

高校で習う程度の回路の知識が,電磁気学の理論 (Maxwell方程式)と回路がどうつながっているの? という疑問を解消する内容にしていく予定です. Kirchhoffの法則 第一法則 回路の任意の結合点において \begin{align} \sum_k I_k =0 \end{align} が成立する…

【定理・例】Lebesgue積分論のご利益2・極限と積分の順序交換

微分・積分の順序交換については,以下の記事を参照して下さい: 【定理・例】Lebesgue積分論のご利益1・微積分の順序交換 - UNTITLED MEMORANDUM 優収束定理 (Dominated convergence theorem) 優収束定理 (Dominated convergence theorem) $(X,\mathfrak{M…

【判定法・例】正項級数の収束判定

この記事では,正項級数の収束判定に関する事項をまとめます.正項級数というと特殊な感じがしますね.しかし, \begin{align} \left| \sum_n a_n\right|\leq \sum_n |a_n| \end{align} から \begin{align} \underset{\text{正項級数!}}{\underline {\sum_n…

【定理・例】Lebesgue積分論のご利益1・微積分の順序交換

極限記号$\lim$と,積分$\displaystyle\int$の順序交換(優収束定理)については,次の記事を参照して下さい: 【定理・例】Lebesgue積分論のご利益2・極限と積分の順序交換とその応用例 - UNTITLED MEMORANDUM 定理 定理(微積分の順序交換) $(X,\Omega,\m…

$\dfrac{\sin x}{x}$はRiemann積分可能だが,Lebesgue積分は不可能!

RiemannとLebesgue積分の関係 RiemannとLebesgue積分の間には,以下のような関係があります: (狭義) Riemann積分可能な関数は,Lebesgue積分も可能.このとき,両者の積分は一致する. $f$が広義Riemann積分可能 (有限) でも,$f\geq 0$でないときには,Leb…

Chebyshev’s inequality (チェビシェフの不等式) とその応用例

Chebyshevの不等式 期待値が$\mu$,分散が$\sigma^2$の確率変数$X$と任意の$k>0$に対して,以下のChebyshevの不等式が成立します: Chebyshevの不等式 \begin{align} P(|X-\mu|\geq k\sigma)\leq \frac{1}{k^2} \tag{1}\label{eq:Chebyshev1} \end{align} ま…

【導出】積分公式 (三角関数,双曲線関数,指数関数,対数関数など)

基本的な不定積分公式を導出します.以下では$a>0$とし,積分定数は省略します. 三角関数 (sin, cos, tan, cot=1/tan, sec=1/cos, cosec=1/sin) 双曲線関数 (sinh, cosh) 指数関数 対数関数 有理関数 (1/1+x^2, 1/x^2+a^2, 1/x^2-a^2) 無理関数 (1/√1-x^2, …