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選出公理と適用例

どこで使われているのかわかりにくい,選出公理. その適用例を紹介します. 選出公理 直積 $(A_\lambda)_{\lambda\in\Lambda}$を集合族とする.このとき,集合 \[ \prod_{\lambda\in\Lambda}A_\lambda:= \left\{a:\Lambda\rightarrow \bigcup_{\lambda\in\L…

【点推定】平均・分散・標準偏差を推定する方法

次のような,1から4までの数字の書いてある玉が10個入った袋があるとします: ①:1個,②:2個,③:3個,④:4個この袋の中身を知らない人が,「袋の中の玉を1つ取り出す→元に戻す」という操作 を$N$回繰り返して平均・分散・標準偏差を推定する方法について考…

熱力学 overview

熱力学とは? 熱力学とは,マクロな系の平衡状態に着目して,その性質を論じる分野です. 一般に,着目する状態以外は非平衡です. 温度の導入 すでに平衡状態にある系 (環境) を考えます.この中に環境に比べてとても小さな系を入れ,平衡状態(系が時間発…

黒体輻射 (Black body radiation)

黒体とは あらゆる電磁波を吸収する物体を黒体 (Black body)と呼びます.例えば,「空洞」に,空洞に比べ小さな穴を開けたものは黒体とみなせます. この「空洞」で電磁波の輻射について考察したのがPlanckです.とはいえ,現実には完全な黒体は存在せず,吸…

Landau symbol (ランダウの記号)

微小量の高次項を表すときに,$o(\cdot)$や$O(\cdot)$といった記号がよくあらわれます. 例えば,統計力学においては$O(N)$といった記号を頻繁に見かけることになります($N$は粒子数). これは"オーダー"と呼ばれる記号ですが,$o$と$O$は異なる意味を持ちま…

回路あれこれ〜Maxwell方程式とのつながり

高校で習う程度の回路の知識が,電磁気学の理論 (Maxwell方程式)と回路がどうつながっているの? という疑問を解消する内容にしていく予定です. Kirchhoffの法則 第一法則 回路の任意の結合点において \begin{align} \sum_k I_k =0 \end{align} が成立する…

【判定法・例】正項級数の収束判定

この記事では,正項級数の収束判定に関する事項をまとめます. 正項級数というと特殊な感じがしますが,級数の絶対収束を考える際の \begin{align} \sum_n |a_n| \end{align} は正項級数ですから,実際はよく出てきます. 正項級数の収束判定に関する定理 以…

Lebesgue積分論のご利益1・微積分の順序交換とその応用例

定理(微積分の順序交換) $(X,\Omega,\mu)$を測度空間,$f$を以下の条件を満たす$X\times (a,b)$上の関数とする: 任意の$\alpha\in (a,b)$に対して,$f_\alpha: X\ni x\mapsto f(x,\alpha)$が$X$上可積分. 任意の$x\in X$に対して,$f_x: (a,b)\ni \alpha…

$\dfrac{\sin x}{x}$はRiemann積分可能だが,Lebesgue積分は不可能!

RiemannとLebesgue積分の関係 RiemannとLebesgue積分の間には,以下のような関係があります: (狭義) Riemann積分可能な関数は,Lebesgue積分も可能.このとき,両者の積分は一致する. $f$が広義Riemann積分可能 (有限) でも,$f\geq 0$でないときには,Leb…

Chebyshev’s inequality (チェビシェフの不等式) とその応用例

Chebyshevの不等式 期待値が$\mu$,分散が$\sigma^2$の確率変数$X$と任意の$k>0$に対して,以下のChebyshevの不等式が成立します: Chebyshevの不等式 \begin{align} P(|X-\mu|\geq k\sigma)\leq \frac{1}{k^2} \tag{1}\label{eq:Chebyshev1} \end{align} ま…

【導出】ベクトル解析の公式集

ここでは,ベクトル解析の公式の導出をします.力学・電磁気学・流体力学などを学ぶ上で,これらの計算はとても重要です. 計算練習をして,公式をすぐに導出できるようになりましょう! この記事では簡単のため,微分演算子を $$\partial_i:=\dfrac{\partia…

【導出】積分公式 (三角関数,双曲線関数,指数関数,対数関数など)

基本的な不定積分公式を導出します.以下では$a>0$とし,積分定数は省略します. 三角関数 (sin, cos, tan, cot=1/tan, sec=1/cos, cosec=1/sin) \begin{align} \sec x=\frac{1}{\cos x},\quad \mathrm{cosec\,} x=\frac{1}{\sin x},\quad \cot x=\frac{1}{\…