UNTITLED MEMORANDUM

あまり知られていないこと

Formula/公式

【導出】極座標のラプラシアン〜『簡単に・数行で』導く方法

部分積分を用いると,偏微分を地道に計算するよりもはるかに簡単に「極座標のラプラシアン/発散」を導出できます. (実際,"数行"の式変形で済むことをを見てみましょう!)もちろん,一般の曲線座標でも同じ方法で計算することができます.ここでは,極座…

【導出】等距離変換とLorentz変換

ユークリッド空間での等距離変換が回転と反転で表されることはよく知られています. 同じように,ミンコフスキー空間での等距離変換(Lorentz変換)がどのような形で表されるのか計算してみましょう. 以下の記事の知識を仮定します: 【導出】超簡単! 回転行…

【点推定】平均・分散・標準偏差を推定する方法

【目次】 疑問:平均・分散・標準偏差を推定するには? 平均値を推定する方法? 分散を推定する方法? この推定法は正しいのか? 一般化 平均値 分散 まとめ 参考文献 疑問:平均・分散・標準偏差を推定するには? 次のような,1から4までの数字の書いてある玉…

【導出】曲面積の求め方〜回転体の表面積も定義から導ける

曲面積の一般的な定義を「理解」しておけば,派生公式を覚えていなくても計算ができます. 具体例を交えながら見ていきましょう.この記事を読めば,曲面積の定義式(\ref{eq:surf_area})さえ理解しておけば,派生公式を覚える必要はないことがわかります. …

ユークリッドの互除法

ユークリッドの互除法は,整数$a$と$b$の最大公約数を求める方法です.今,$a>b>0$としましょう. $a$を$b$で割った時の商を$q_1$, 余りを$r_1$とすると, \begin{align} a=bq_1+r_1 \qquad(0\leq r_1 \end{align} と書くことができます. よって,以下のこ…

【導出】超簡単! 回転行列の導き方

覚える必要はありません.簡単に求めることができます.導出方法は2次元回転行列でも,3次元回転行列も同じです. もっと一般に,行列全般の導出に応用できます. ぜひ身につけましょう.【前提知識】 高校生でも,『行列の計算方法』さえ知っていれば理解で…

【導出】10進数から2進数への変換法

2進数の各桁を求めるのだって,10進数の各桁を求めるのと同じ操作に過ぎないのです. 難しいことは何もありません. 2進数とは 10進数→2進数 Step1 整数部分 $a_0$を求める $a_1$を求める $a_n$を求める Step2 小数部分 $a_{-1}$を求める $a_{-2}$を求める $…

スターリングの公式 (Stirling's approximation/Stirling's formula)

統計力学でよく出てくるStirlingの公式について考えてみましょう. スターリングの公式 (Stirling's approximation/Stirling's formula)とは? 物理の教科書では \begin{align} \log N!=N(\log N-1)+O(\log N)\qquad(N\rightarrow\infty) \tag{1}\label{eq:s…

【定理・例】Lebesgue積分論のご利益1・微積分の順序交換

極限記号$\lim$と,積分$\displaystyle\int$の順序交換(優収束定理)については,次の記事を参照して下さい: 【定理・例】Lebesgue積分論のご利益2・極限と積分の順序交換 - UNTITLED MEMORANDUM 定理 定理(微積分の順序交換) $(X,\Omega,\mu)$を測度空…

【導出】ベクトル解析・行列計算 の公式集

ここでは,ベクトル解析の公式の導出をします.力学・電磁気学・流体力学などを学ぶ上で,これらの計算はとても重要です. 計算練習をして,公式をすぐに導出できるようになりましょう! この記事では簡単のため,微分演算子を $$\partial_i:=\dfrac{\partia…

【導出】完全反対称テンソル (Levi-Civita 記号) の縮約公式

ベクトル解析の重要な公式に,『完全反対称テンソル (レビ・チビタ記号) の縮約公式』があります. ベクトル解析での活用例: 【導出】ベクトル解析・行列計算 の公式集 - UNTITLED MEMORANDUM 毎回忘れてしまって,その度に公式を確認するという人も多いの…

【導出】積分公式 (三角関数,双曲線関数,指数関数,対数関数など)

基本的な不定積分公式を導出します.以下では$a>0$とし,積分定数は省略します. 三角関数 (sin, cos, tan, cot=1/tan, sec=1/cos, cosec=1/sin) 双曲線関数 (sinh, cosh) 指数関数 対数関数 有理関数 (1/1+x^2, 1/x^2+a^2, 1/x^2-a^2) 無理関数 (1/√1-x^2, …