Formula/公式

【導出】等距離変換とLorentz変換

以下の記事の知識を仮定します: 【導出】超簡単! 回転行列の導き方 - UNTITLED MEMORANDUM 等距離変換@ユークリッド空間/Euclidean space 一般論 基本的な性質: $x\cdot y=\dfrac{1}{4}\left(\left| x+y\right|^2 -\left| x-y\right|^2\right)$ 任意の$x,y…

【点推定】平均・分散・標準偏差を推定する方法

次のような,1から4までの数字の書いてある玉が10個入った袋があるとします: ①:1個,②:2個,③:3個,④:4個この袋の中身を知らない人が,「袋の中の玉を1つ取り出す→元に戻す」という操作 を$N$回繰り返して平均・分散・標準偏差を推定する方法について考…

【導出】曲面積の求め方〜回転体の表面積も定義から導ける

曲面積の一般的な定義を「理解」しておけば,派生公式を覚えていなくても計算ができます. 具体例を交えながら見ていきましょう.この記事を読めば,式(\ref{eq:surf_area})さえ理解しておけば,派生する式を機械的に導くことができることがわかります. 曲…

【導出】超簡単! 回転行列の導き方

覚える必要はありません.簡単に求めることができます.導出方法は2次元回転行列でも,3次元回転行列も同じです. もっと一般に,行列全般の導出に応用できます. ぜひ身につけましょう.【前提知識】 高校生でも,行列の計算方法さえ知っていれば理解できま…

スターリングの公式 (Stirling's approximation/Stirling's formula)

統計力学でよく出てくるStirlingの公式について考えてみましょう. スターリングの公式 (Stirling's approximation/Stirling's formula)とは? 物理の教科書では \begin{align} \log N!=N(\log N-1)+O(\log N)\qquad(N\rightarrow\infty) \tag{1}\label{eq:s…

【定理・例】Lebesgue積分論のご利益1・微積分の順序交換

極限記号$\lim$と,積分$\displaystyle\int$の順序交換(優収束定理)については,次の記事を参照して下さい: 【定理・例】Lebesgue積分論のご利益2・極限と積分の順序交換とその応用例 - UNTITLED MEMORANDUM 定理 定理(微積分の順序交換) $(X,\Omega,\m…

【導出】ベクトル解析の公式集

ここでは,ベクトル解析の公式の導出をします.力学・電磁気学・流体力学などを学ぶ上で,これらの計算はとても重要です. 計算練習をして,公式をすぐに導出できるようになりましょう! この記事では簡単のため,微分演算子を $$\partial_i:=\dfrac{\partia…

【導出】完全反対称テンソル (Levi-Civita 記号) の縮約公式

はじめに ベクトルの計算で欠かせない,完全反対称テンソル (レビ・チビタ記号) の縮約公式. (ベクトル解析での応用例はこちら)初めて見たとき,えぇ・・・これ覚えるの?と思う人も多いのではないでしょうか. でも,この縮約公式は簡単に導けるのです.慣…

【導出】積分公式 (三角関数,双曲線関数,指数関数,対数関数など)

基本的な不定積分公式を導出します.以下では$a>0$とし,積分定数は省略します. 三角関数 (sin, cos, tan, cot=1/tan, sec=1/cos, cosec=1/sin) \begin{align} \sec x=\frac{1}{\cos x},\quad \mathrm{cosec\,} x=\frac{1}{\sin x},\quad \cot x=\frac{1}{\…