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【点推定】平均・分散・標準偏差を推定する方法

次のような,1から4までの数字の書いてある玉が10個入った袋があるとします: ①:1個,②:2個,③:3個,④:4個この袋の中身を知らない人が,「袋の中の玉を1つ取り出す→元に戻す」という操作 を$N$回繰り返して平均・分散・標準偏差を推定する方法について考…

曲面積の求め方〜回転体の表面積も定義から導ける

曲面積の一般的な定義から,回転体の表面積の公式などを導く手順を紹介します.大本となる式(\ref{eq:surf_area})さえ理解しておけば,派生する式を機械的に導くことができることがわかります. 曲面積 パラメータ$\boldsymbol{u}=(u,v)\in\Omega$で定義され…

【導出】超簡単! 回転行列の導き方

回転行列なんて,覚える必要はありません.簡単に導出できます.導出方法も,行列全般に応用できます.ぜひ身につけましょう.高校生でも,行列の計算方法さえ知っていれば理解できます. 特に,受験生は公式の記憶に苦労しなくて済みますよ!この考え方は線…

スターリングの公式 (Stirling's approximation/Stirling's formula)

統計力学でよく出てくるStirlingの公式について考えてみましょう. スターリングの公式 (Stirling's approximation/Stirling's formula)とは? 物理の教科書では \begin{align} \log N!=N(\log N-1)+O(\log N)\qquad(N\rightarrow\infty) \tag{1}\label{eq:s…

Lebesgue積分論のご利益1・微積分の順序交換とその応用例

定理(微積分の順序交換) $(X,\Omega,\mu)$を測度空間,$f$を以下の条件を満たす$X\times (a,b)$上の関数とする: 任意の$\alpha\in (a,b)$に対して,$f_\alpha: X\ni x\mapsto f(x,\alpha)$が$X$上可積分. 任意の$x\in X$に対して,$f_x: (a,b)\ni \alpha…

【導出】ベクトル解析の公式集

ここでは,ベクトル解析の公式の導出をします. (これからも暇なときに,ちょくちょく公式を付け加えていきます.) 力学・電磁気学・流体力学などを学ぶ上で,これらの計算はとても重要です. 計算練習をして,公式をすぐに導出できるようになりましょう! …

【導出】完全反対称テンソル (Levi-Civita 記号) の縮約公式

はじめに ベクトルの計算で欠かせない,完全反対称テンソル (レビ・チビタ記号) の縮約公式. (ベクトル解析での応用例はこちら)初めて見たとき,えぇ・・・これ覚えるの?と思う人も多いのではないでしょうか. でも,この縮約公式は簡単に導けるのです.慣…

積分公式1 (三角関数,双曲線関数,指数関数,対数関数など)〜導出付き

基本的な不定積分公式を導出します. (まだ書きかけです.後々追加予定です...)以下では$a>0$とし,積分定数は省略します. 三角関数 (sin, cos, tan, cot=1/tan, sec=1/cos, cosec=1/sin) \begin{align} \sec x=\frac{1}{\cos x},\quad \mathrm{cosec\,} x=…