Formula/公式

【導出】等距離変換とLorentz変換

ユークリッド空間での等距離変換が回転と反転で表されることはよく知られています. 同じように,ミンコフスキー空間での等距離変換(Lorentz変換)がどのような形で表されるのか計算してみましょう. 以下の記事の知識を仮定します: 【導出】超簡単! 回転行…

【点推定】平均・分散・標準偏差を推定する方法

次のような,1から4までの数字の書いてある玉が10個入った袋があるとします: ①:1個,②:2個,③:3個,④:4個この袋の中身を知らない人が,「袋の中の玉を1つ取り出す→元に戻す」という操作 を$N$回繰り返して平均・分散・標準偏差を推定する方法について考…

【導出】曲面積の求め方〜回転体の表面積も定義から導ける

曲面積の一般的な定義を「理解」しておけば,派生公式を覚えていなくても計算ができます. 具体例を交えながら見ていきましょう.この記事を読めば,式(\ref{eq:surf_area})さえ理解しておけば,派生する式を機械的に導くことができることがわかります. 曲…

【導出】超簡単! 回転行列の導き方

覚える必要はありません.簡単に求めることができます.導出方法は2次元回転行列でも,3次元回転行列も同じです. もっと一般に,行列全般の導出に応用できます. ぜひ身につけましょう. 【前提知識】 高校生でも,『行列の計算方法』さえ知っていれば理解…

スターリングの公式 (Stirling's approximation/Stirling's formula)

統計力学でよく出てくるStirlingの公式について考えてみましょう. スターリングの公式 (Stirling's approximation/Stirling's formula)とは? 物理の教科書では \begin{align} \log N!=N(\log N-1)+O(\log N)\qquad(N\rightarrow\infty) \tag{1}\label{eq:s…

【定理・例】Lebesgue積分論のご利益1・微積分の順序交換

極限記号$\lim$と,積分$\displaystyle\int$の順序交換(優収束定理)については,次の記事を参照して下さい: 【定理・例】Lebesgue積分論のご利益2・極限と積分の順序交換とその応用例 - UNTITLED MEMORANDUM 定理 定理(微積分の順序交換) $(X,\Omega,\m…

【導出】ベクトル解析の公式集

ここでは,ベクトル解析の公式の導出をします.力学・電磁気学・流体力学などを学ぶ上で,これらの計算はとても重要です. 計算練習をして,公式をすぐに導出できるようになりましょう! この記事では簡単のため,微分演算子を $$\partial_i:=\dfrac{\partia…

【導出】完全反対称テンソル (Levi-Civita 記号) の縮約公式

はじめに ベクトル解析の重要な公式に,『完全反対称テンソル (レビ・チビタ記号) の縮約公式』があります. (ベクトル解析での応用例:【導出】ベクトル解析の公式集 - UNTITLED MEMORANDUM)初めて見たとき,「えぇ・・・これ覚えるの?」と思ったのではな…

【導出】積分公式 (三角関数,双曲線関数,指数関数,対数関数など)

基本的な不定積分公式を導出します.以下では$a>0$とし,積分定数は省略します. 三角関数 (sin, cos, tan, cot=1/tan, sec=1/cos, cosec=1/sin) \begin{align} \sec x=\frac{1}{\cos x},\quad \mathrm{cosec\,} x=\frac{1}{\sin x},\quad \cot x=\frac{1}{\…