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Monty Hall problem (モンティ・ホール問題)

確率論

Monty Hall problem (モンティ・ホール問題)

Monty Hall problem (モンティ・ホール問題)とは,

モンティ・ホール問題
3つのドアがあり,そのうち1つが当たりです.
あなたは当たりだと思うドアを1つ選びました.
すると,出題者は「あなたが選ばなかった2つのドア」の中から「ハズレのドア」を1つ教えた上で, あなたにドアを変更することを許しました.
さて,あなたはドアを変更すべきでしょうか?

というもの.
実際の答えが直感と反することで有名です.

誤答例:
出題者がドアの変更を許した時点での確率を考えると,残っているのは当たりとハズレ1つずつだから
「どちらも 1/2の確率」


この解答は「新たに得られた情報がハズレのドア1つだけ」という前提に立っています.

しかし,はじめにあなたがドアを一つ選んでいた事で「ハズレのドア1つ」ではなく,
それ以上の情報が得られているのです.


その情報とは,

「残りのドアを選ばなかったこと」
です.


なぜこれが重要な情報なのか,考えてみましょう.

この問題では,

  1. あなたが最初に当たりを引く場合
  2. あなたが最初にハズレを引く場合

の2通りがあります.


1. の場合,出題者が選ばなかったドアは「確実に」ハズレです.
一方で,2. の場合,出題者が選ばなかったドアは「確実に」当たりです.


従って,この問題では

「あなたが最初に当たりを引くか,ハズレを引くかだけ」
で,出題者が選ばなかったドアの当たりハズレが決定してしまうのです!



ところで,

  • 最初に当たりを引く確率は$\frac{1}{3}$
  • 最初にハズレを引く確率は$\frac{2}{3}$

であることはわかっているので,

  • 出題者が選ばなかったドアがハズレの確率は$\frac{1}{3}$
  • 出題者が選ばなかったドアが当たりの確率は$\frac{2}{3}$

となるのです!


整理すると,以下のようになります:

解答
当たりを引く確率は,
1. ドアを変えない人の場合,最初に当たりを選ぶ確率に等しいから 1/3.
2. ドアを変える人の場合は,最初にハズレを選ぶ確率に等しいから 2/3.
よって,「ドアを変更すべき」.