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あまり知られていないこと

【考察】Monty Hall problem (モンティ・ホール問題)を簡単に解く

アニメで「モンティ・ホール問題」を扱うシーンがあり,気になったので考えてみました.

Monty Hall problem (モンティ・ホール問題)

Monty Hall problem (モンティ・ホール問題)とは,

モンティ・ホール問題
1つの「当たり」のドアを含む,3つのドアがあります.
あなたは「当たり」のドアを当てることができれば,景品がもらえます.
あなたは好きなドアを1つ選びました.
すると,出題者は「あなたが選ばなかった2つのドア」の中から「はずれのドア」を1つ教えた上で, あなたにドアを変更することを許しました.
さて,「当たり」を引くためにあなたはドアを変更すべきでしょうか?

というもの.
実際の答えが直感と反することで有名です.

誤答例:

出題者がドアの変更を許した時点での確率を考えると,残っているのは当たりとハズレ1つずつだから
「どちらも 1/2の確率」

この解答は「新たに得られた情報がハズレのドア1つだけ」という前提に立っています.
つまり,あなたがはじめにドアを選んでいない問題であれば,正しい回答です.

しかし,この問題では,あなたがドアを一つ選んでいた事で得られたのは「ハズレのドア1つ」という情報だけでは無いのです.

解答

ドアを選んでいたことで,得られる情報

上で言及した,「ハズレのドア1つ」以外の情報とは,

「出題者が,もう一方のドアを選ばなかったこと」
です.

追加情報の重要性

なぜこれが重要な情報なのか,考えてみましょう.

この問題では,

  1. あなたが最初に当たりを引く場合
  2. あなたが最初にハズレを引く場合

の2通りがあります.


1. の場合,出題者が選ばなかったドアは「確実に」ハズレです.
一方で,2. の場合,出題者が選ばなかったドアは「確実に」当たりです.


従って,この問題では

「あなたが最初に当たりを引くか,ハズレを引くかだけ」
で,出題者が選ばなかったドアの当たりハズレが決定してしまう (下図) のです!


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解答

上の議論から,簡単に確率を求めることができます.
つまり,

  • 最初に当たりを引く確率は$\frac{1}{3}$
  • 最初にハズレを引く確率は$\frac{2}{3}$

なので,

  • 出題者が選ばなかったドアがハズレの確率は$\frac{1}{3}$
  • 出題者が選ばなかったドアが当たりの確率は$\frac{2}{3}$

となることがわかります.


整理すると,

当たりを引く確率は,
1. ドアを変えない人の場合,最初に当たりを選ぶ確率に等しいから 1/3.
2. ドアを変える人の場合は,最初にハズレを選ぶ確率に等しいから 2/3.
よって,「ドアを変更すべき」.