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【例】サイコロ1個で考える条件付き確率

私は中学生のとき,確率の問題が苦手でした.
中でも,納得できるまでにすごく時間がかかったのが「条件付き確率」の問題です.

何事も,理解のコツは「極端な例」を考えることです.例えば,

  • 数学なら,すごく数が小さい場合/大きい場合を考える.
  • 物理なら,物理量が$0$あるいは$\infty$の極限を考える.

といったことは常套手段です.


ここでは条件付き確率を理解するために,サイコロ1個を用いた簡単な例を考えてみましょう.
以下の「極端な例」はきっと理解の助けになるはずです.

1. サイコロを振ったとき,2の目が出る確率は?
2. サイコロを振った.その後出目を見ずに,偶数であることを教えてもらった.このとき,2の目が出た確率は?

1. の確率は\dfrac{1}{6}ですね.
2. に関して,以下は正しいでしょうか?
"すでにサイコロを振った後に"出目の情報"を教えてもらっても確率は変わらないので,\dfrac{1}{6}."

実は,出目の情報を教えてもらうことで確率は変わるのです.
正確に言えば,「確率1で偶数がでる」という情報を得た時点で考えている問題が変わったのです.

これは,問題2. が次のように言い換えることができることからわかります:

2条件
  1. 出目は2,4,6のいずれかである
  2. 2,4,6は当確率で出る
がわかっているとき,2が出る確率は?


この問題なら,簡単に答えがわかるでしょう.
2の目が出る確率は\dfrac{1}{3}となりますね.
(※ 1. の確率は事前確率 (Prior probability),2. の確率は事後確率 (Posterior probability) と呼ばれます.)

これくらい簡単な問題だと,通常の条件付き確率の解き方を用いることなく,直感的に理解できたのではないでしょうか?

一応,通常の条件付き確率の解き方も見ておきましょう:

$A=\{2,4,6\}, B=\{2\}$とすると, \begin{align} P(A\cap B)=1/6,\quad P(A)=1/2 \end{align} なので,求める確率は \begin{align} P(B|A)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}=1/3. \end{align}


それでは,もっと極端な例を考えてみましょう.

もっと極端な例

3. サイコロを振った.その後出目を見ずに,奇数であることを教えてもらった.このとき,2の目が出た確率は?
4. サイコロを振った.その後出目を見ずに,2が出たことを教えてもらった.このとき,2の目が出た確率は?

3. は,サイコロを振った時点では2の目が出る確率は\dfrac{1}{6}ですが,
奇数であることを教えてもらった後は2の目が出る確率は0になりますね.

同様に4. は,サイコロを振った時点では2の目が出る確率は\dfrac{1}{6}ですが,
2が出たことを教えてもらった後は2の目が出る確率は1になりますね.



天気予報で言えば,これらの例は

3'. 今日は一日中晴れていました.今日の降水確率は?
4'. 今日は雨が振りました.今日の降水確率は?

というのと同じですね.


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