UNTITLED MEMORANDUM

あまり知られていないこと

【導出】ドル・コスト平均法のリターン

最近,確定拠出年金などの積立投資で
「ドル・コスト平均法」の効果で取得単価が下げられるメリットがありますよ〜
なんて記事をよく見かけますね.

一体どういうことなのでしょうか?

ちょいちょいと計算してみましょう.
リターンを求めるだけなので,中学生がするくらいの計算のはず!

ドル・コスト平均法(Dollar Cost Averaging, DCA)とは?

ドル・コスト平均法の効果があるとされる,積立投資とは,

株式や投資信託などの金融商品を,定期的に毎回同じ金額だけ購入する投資方法

のことです.

よく,投信や金の投資に関する記事で見かけますね.
このように投資することにより,金融商品の購入価格が平均化されることが知られています.
これを,ドル・コスト平均法と言います.

ドル・コスト平均法のリターン

ここではまず,英語版Wikipediaにあるリターンを表す式

ドル・コスト平均法のリターン
$$\displaystyle r=\frac{p_\mathrm{F}}{\tilde{p}_\mathrm{P}}-1$$

を導出しましょう.

以下では,金融商品を「株式」と呼ぶことにします.


まず,以下のように記号を決めましょう:

  • $p_n$:$n$ステップ目($n$回目の購入時点)の株価
  • 毎回$m$ (定額)の金額を投資する

このとき,$n$ステップ目での保有株式数$S_n$は
$$S_n=m/p_n+S_{n-1}=m(1/p_1+\cdots +1/p_n)$$
です.

利益$P_n$は株式の価値と投資金額の差なので,
$$\displaystyle
P_n
=p_n\cdot S_n-mn
=mn\Big(p_n\cdot \frac{1/p_1+\cdots +1/p_n}{n}-1\Big)
=mn\Big(\frac{p_\mathrm{n}}{\tilde{p}_\mathrm{P}}-1\Big).
$$

ただし,$p_1,...,p_n$の調和平均を$\tilde{p}_\mathrm{P}$としました.即ち,
$$ \displaystyle \tilde{p}_\mathrm{P}:=\frac{n}{1/p_1+\cdots +1/p_n}$$
です.


ここで,$mn$はトータルの投資金額であることに注意すれば,リターン$r$は
$$\displaystyle r=\frac{P_n}{mn}=\frac{p_n}{\tilde{p}_\mathrm{P}}-1$$
となります.

この式から,株価の購入価格が平均化されていることがわかりますね.

また,毎回一定数だけ金融商品を購入する場合よりも高いリターンとなります.

ひとこと

もちろん

積立を行うということは,高値で買うこともある
わけで,
安値で仕込めるならその方がリターンは高い
ことは理解しておきましょう.