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あまり知られていないこと

【導出】ドル・コスト平均法のリターン

最近,積立投資 (確定拠出年金や積立NISA) において,「ドル・コスト平均法」で取得単価が下げられるメリットについて触れられることが多いですね.
これは,一体どういうことなのでしょうか?

実際に確かめるために,「ドル・コスト平均法のリターン」を計算してみましょう.
四則演算ができればわかる計算のはずです!

ドル・コスト平均法(Dollar Cost Averaging, DCA)とは?

ドル・コスト平均法の効果があるとされる,積立投資とは,

株式や投資信託などの金融商品を,定期的に毎回同じ金額だけ購入する投資方法

のことです.

よく,投信や金の投資に関する記事で見かけますね.
このように投資することにより,金融商品の購入価格が平均化されることが知られています.
これを,ドル・コスト平均法と言います.

ドル・コスト平均法のリターン

ここではまず,英語版Wikipediaにあるリターンを表す式

ドル・コスト平均法のリターン
$$\displaystyle r=\frac{p_\mathrm{F}}{\tilde{p}_\mathrm{P}}-1$$

を導出しましょう.

以下では,金融商品を「株式」と呼ぶことにします.


まず,以下のように記号を決めましょう:

  • $p_n$:$n$ステップ目($n$回目の購入時点)の株価
  • 毎回$m$ (定額)の金額を投資する

保有株式数の計算

このとき,$n$ステップ目での保有株式数$S_n$は
$$S_n=m/p_n+S_{n-1}=m(1/p_1+\cdots +1/p_n)$$
です.

利益の計算

利益$P_n$は株式の価値と投資金額の差なので,
$$\displaystyle
P_n
=p_n\cdot S_n-mn
=mn\Big(p_n\cdot \frac{1/p_1+\cdots +1/p_n}{n}-1\Big)
=mn\Big(\frac{p_\mathrm{n}}{\tilde{p}_\mathrm{P}}-1\Big).
$$

ただし,$p_1,...,p_n$の調和平均を$\tilde{p}_\mathrm{P}$としました.即ち,
$$ \displaystyle \tilde{p}_\mathrm{P}:=\frac{n}{1/p_1+\cdots +1/p_n}$$
です.

リターンの計算

ここで,$mn$がトータルの投資金額であることに注意すれば,リターン$r$は
$$\displaystyle r=\frac{P_n}{mn}=\frac{p_n}{\tilde{p}_\mathrm{P}}-1$$
となります.

この式から,株価の購入価格が平均化されていることがわかりますね.


これは,『毎回「一定数」だけ金融商品を購入する場合』よりも高いリターンとなります.
詳しい計算は次の記事を参照して下さい:
wpqtqpqp.hatenablog.com

「ドル・コスト平均法」についての注意

ドル・コスト平均法によって購入するということは,高値で買うこともあるわけです.
もし,安値で仕込めるなら,その方がリターンは高いことは理解しておきましょう.

※ 「高値」というのは,後からしかわからないわけですが...しかし,「明らかに高値である」というのがわかれば,買い控えるべきです.