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行列の対角化〜「基底を取り直す」ことの意味

以前紹介した行列表示

を学ぶと,対角化が「基底を取り直す」操作であることが理解できます.


対角化とは何なのか?

対角化とは,

  1. 行列$\hat{M}$の基底を上手く取り直し
  2. 上手くとった基底で行列表示し直す(これを以下$M$で表す)ことにより,
  3. 対角行列にしてしまおう!

という操作である,と言い換えることができます.

基底を上手く取り直す?

では,「基底を上手く取り直す」とは具体的にどういうことなのか,以下で詳しく見てみましょう.
("$\hat{}$"の付け方を行列表示の記事と対応をさせたので,混乱したときは2つの記事を比較してみてください.)


行列$M$とベクトル$e_i$の間には
$$M=(Me_1,...,Me_n)$$
という関係があるので,$M$が対角行列である必要十分条件は
\begin{align}
M e_i=\lambda_i e_i\tag{1}
\label{eq:diag}
\end{align}
となることです.


一方で,$\hat{M}$の基底$\{x_1,...,x_n\}$に関する行列表示とは,$x_i$を$e_i$だと思ったときに$\hat{M}$が行列としてどう表わされるか?ということでした.よって,式 (\ref{eq:diag})は
\begin{align}
\hat{M} x_i=\lambda_i x_i\tag{2}
\label{eq:diag2}
\end{align}
を表します.


式 (\ref{eq:diag2})が,「基底を上手く取り直す」という操作であることが分かりました.
これは正に,対角化をする際の操作ですね.