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【計算】金融商品を「毎回一定数」買い付ける場合のリターン

ドル・コスト平均法の記事では,毎回一定金額だけ金融商品を購入する投資方法について考えました.

ここでは,毎回一定数の金融商品を購入する場合を考えてみましょう.
以下,金融商品は株式であるとします.

$n$ステップ目の株価を$p_n$とし,毎回$S$だけの株式を購入する場合を考えます.

このとき,$n$ステップ目での保有株式数$S_n$は
$$S_n=nS,$$
投資金額$m_n$は
$$m_n
=p_nS+m_{n-1}
=(p_1+\cdots+p_n)S$$
です.

利益$P_n$は株式の価値と投資金額の差なので,
$$\displaystyle
P_n
=p_n\cdot S_n-m_n
=m_n\Big(p_n\cdot \frac{n}{p_1+\cdots +p_n}-1\Big)
=m_n\Bigg(\frac{p_\mathrm{n}}{\bar{p}_\mathrm{P}}-1\Bigg).
$$

ただし,$p_1,...,p_n$の算術平均を$\bar{p}_\mathrm{P}$としました.即ち,
$$ \displaystyle \bar{p}_\mathrm{P}:=\frac{p_1+\cdots +p_n}{n}$$
です.


ここで,$m_n$はトータルの投資金額であることに注意すれば,リターン$r$は
$$\displaystyle r=\frac{P_n}{m_n}=\frac{p_n}{\bar{p}_\mathrm{P}}-1$$
となります.

調和平均$\leq$算術平均であることに注意すれば,ドル・コスト平均法の方がハイリターンであることがわかります(ドル・コスト平均法の記事参照).