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積分公式1 (三角関数,双曲線関数,指数関数,対数関数など)〜導出付き

Formula/公式 Exercise/計算練習 Draft

基本的な不定積分公式を導出します.
(まだ書きかけです.後々追加予定です...)

以下では$a>0$とし,積分定数は省略します.


三角関数 (sin, cos, tan, cot=1/tan, sec=1/cos, cosec=1/sin)

\begin{align}
\sec x=\frac{1}{\cos x},\quad
\mathrm{cosec\,} x=\frac{1}{\sin x},\quad
\cot x=\frac{1}{\tan x}
\end{align}

\begin{align}
&\int \sin x\,\mathrm{d}x
=-\cos x\\
&\int \cos x\,\mathrm{d}x
=\sin x\\
%
&\int \tan x\,\mathrm{d}x
=-\int \frac{(\cos x)^\prime}{\cos x}\,\mathrm{d}x
=-\log|\cos x|\\
&\int \cot x\,\mathrm{d}x
=\int \frac{(\sin x)^\prime}{\sin x}\,\mathrm{d}x
=\log|\sin x|\\
&\int \sec^2x\,\mathrm{d}x
=\int (\tan x)^\prime\,\mathrm{d}x
=\tan x\\
&\int \mathrm{cosec\,}^2x\,\mathrm{d}x
=-\int (\cot x)^\prime\,\mathrm{d}x
=-\cot x\\
&\int \sec x\,\mathrm{d}x
=\cdots
=\log|\sec x+\tan x|\\
&\int \mathrm{cosec\,} x\,\mathrm{d}x
=\cdots
=\log|\tan (x/2)|
\end{align}

双曲線関数 (sinh, cosh)

\begin{align}
&\int \cosh x\,\mathrm{d}x
=\sinh x\\
&\int \sinh x\,\mathrm{d}x
=\cosh x
\end{align}

指数関数

\begin{align}
&\int e^x\,\mathrm{d}x
=e^x\\
&\int a^x\,\mathrm{d}x
=\int e^{\log a^x}\,\mathrm{d}x
=\int e^{x\log a}\,\mathrm{d}x
=\frac{a^x}{\log a}
\end{align}

対数関数

\begin{align}
&\int \log x\,\mathrm{d}x
=\int \Bigl[(x\log x)^\prime-x(\log x)^\prime\Bigr]\,\mathrm{d}x
=x\log x-x
\end{align}

有理関数 (1/1+x^2, 1/x^2+a^2, 1/x^2-a^2)

\begin{align}
&\int x^r\,\mathrm{d}x
=
\begin{cases}
\,\dfrac{x^{r+1}}{r+1}&r\neq-1\\
\,\log|x|& r=-1
\end{cases}\\
&\int\frac{\mathrm{d}x}{1+x^2}
=\int\frac{\mathrm{d}(\tan y)}{1+(\tan y)^2}
=\int\frac{1/\cos^2 y}{1/\cos^2 y}\,\mathrm{d}y
=y
=\arctan x\\
&\int\frac{\mathrm{d}x}{x^2+a^2}
=\int \frac{1}{a}\frac{\mathrm{d}(x/a)}{1+(x/a)^2}
=\frac{1}{a}\arctan(x/a)\\
&\int\frac{\mathrm{d}x}{x^2-a^2}
=\int\Bigl(\frac{-1}{x+a}+\frac{1}{x-a}\Bigr)\,\frac{\mathrm{d}x}{2a}
=\frac{1}{2a}\log\Bigl|\frac{x-a}{x+a}\Bigr|
\end{align}

無理関数 (1/√1-x^2, 1/√x^2+1, 1/√x^2-1, 1/√a^2-x^2, 1/√x^2+a^2, 1/√x^2-a^2)

\begin{align}
&\int\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{1-x^2}}
=\int\frac{\mathrm{d}(\sin y)}{\sqrt{1-\sin^2y}}
=\int\frac{\cos y}{|\cos y|}\,\mathrm{d}y
=\arcsin x\\
&\int\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{x^2+1}}
=\int\frac{\mathrm{d}(\sinh y)}{\sqrt{(\sinh y)^2+1}}
=\int\frac{\cosh y}{\cosh y}\,\mathrm{d}y
=y
=\log\bigl(x+\sqrt{x^2+1}\bigr)\\
&\int\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{x^2-1}}
=\int\frac{\mathrm{d}(\cosh y)}{\sqrt{(\cosh y)^2-1}}
=\int\frac{\sinh y}{|\sinh y|}\,\mathrm{d}y
=|y|
=\log\bigl(x+\sqrt{x^2-1}\bigr),\quad(x>1)
\end{align}

これらを利用すれば,
\begin{align}
&\int\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{a^2-x^2}}
=\int\frac{\mathrm{d}(x/a)}{\sqrt{1-(x/a)^2}}
=\arcsin (x/a)
,\quad\Bigl(-\frac{\pi}{2}<
y
<\frac{\pi}{2}\Bigr)\\
&\int\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{x^2+ a^2}}
=\int\frac{\mathrm{d}(x/a)}{\sqrt{(x/a)^2+ 1}}
=\log\biggl[(x/a)+\sqrt{(x/a)^2+1}\biggr]\\
&\int\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{x^2- a^2}}
=\int\frac{\mathrm{d}(x/a)}{\sqrt{(x/a)^2- 1}}
=\log\biggl[(x/a)+\sqrt{(x/a)^2-1}\biggr]
,\qquad(x>a)
\end{align}

さらにこれらを利用すれば,部分積分により
\begin{align}
&\int\sqrt{a^2-x^2}\,\mathrm{d}x
=\cdots\\
&\int\sqrt{x^2+ a^2}\,\mathrm{d}x
=\cdots\\
&\int\sqrt{x^2- a^2}\,\mathrm{d}x
=\cdots
\end{align}
と求められます.

参考

微分積分・平面曲線 (岩波 数学公式 1)