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【導出】完全反対称テンソル (Levi-Civita 記号) の縮約公式

Formula/公式

はじめに

ベクトルの計算で欠かせない,完全反対称テンソル (レビ・チビタ記号) の縮約公式.
(ベクトル解析での応用例はこちら)

初めて見たとき,えぇ・・・これ覚えるの?と思う人も多いのではないでしょうか.
でも,この縮約公式は簡単に導けるのです.

慣れてくれば,
$$\epsilon_{ijk}\epsilon^{ilm}=?$$
が暗算で計算できるようになりますよ!

準備

$\epsilon_{ijk}$の性質は「完全反対称性」です.
つまり,どの2つの添字を入れ替えてもマイナス符号が付きます:
\begin{align}
\epsilon_{\color{red}{ij}k}=-\epsilon_{\color{red}{ji}k},\qquad
\epsilon_{i\color{red}{jk}}=-\epsilon_{i\color{red}{kj}},\qquad
\epsilon_{\color{red}{i}j\color{red}{k}}=-\epsilon_{\color{red}{k}i\color{red}{j}}
\end{align}

したがって,$\epsilon_{ijk}$の添字のうち,どれか2つが同じなら$0$となります.
たとえば,$\epsilon_{iik}=-\epsilon_{iik}$なので$2\epsilon_{iik}=0$.したがって
\begin{align}
\epsilon_{iik}=0
\end{align}
であることがわかります.

では,これらの性質を用いて縮約公式を導いてみましょう.


導出 (3次元の場合)

Step1 $~\neq 0$となる場合を列挙する$\Rightarrow$ざっくりと形を決める

$\epsilon_{ijk}$は完全反対称なので,$\epsilon_{ijk}\epsilon^{ilm}\neq0$となるのは

  1. $j=l$, $k=m$
  2. $j=n$, $k=l$

の2通りの場合に限られる.よって,定数$a,b$を用いて
$$\epsilon_{ijk}\epsilon^{ilm}=a\cdot\delta_{jl}\delta_{km}+b\cdot\delta_{jm}\delta_{kl}$$
と表せる.


Step2 定数を決める: "添字の置換"に対する反対称性を考慮する

左辺は$j,k$ (或いは$l, m$)の置換に対し反対称であるから,右辺もそうでなければならず*1
$$\epsilon_{ijk}\epsilon^{ilm}=a(\delta_{jl}\delta_{km}-\delta_{jm}\delta_{kl}).$$

ここで,$(j,k)=(l,m)=(2,3)$の場合を考えれば$a=1$となる.

以上より,

縮約公式
$$\epsilon_{ijk}\epsilon^{ilm}=\delta_{jl}\delta_{km}-\delta_{jm}\delta_{kl}$$
が導かれる.//

練習問題

2つの添字について縮約した場合: $$\epsilon_{ijk}\epsilon^{ijm}=?$$ を,上で導いた公式に頼らず,暗算で計算してみましょう (その方が早いはずです).

高次元の場合

考え方は,3次元の場合と同様です.

*1:分かりにくければ,「左辺は$j=k$ (或いは$l=m$)のとき$0$となるから $a+b=0$」と考えても良い