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あまり知られていないこと

【導出】ベクトル解析・行列計算 の公式集

ここでは,ベクトル解析の公式の導出をします.

力学・電磁気学・流体力学などを学ぶ上で,これらの計算はとても重要です.
計算練習をして,公式をすぐに導出できるようになりましょう!


この記事では簡単のため,微分演算子を
$$\partial_i:=\dfrac{\partial}{\partial x^i}$$
と書くことにします($x_1=x, x_2=y, x_3=z$).

【目次】

基礎知識

ベクトル演算の成分表記

以下では,ダブっている添字については和を取ることにします(Einsteinの規約).
すると,ベクトル演算の成分表記が次のように簡単に表せます.

名称 ベクトル表記 成分表記
内積 $\boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{B}$ $A_i B_i$
外積 $\boldsymbol{A}\times\boldsymbol{B}$ $\epsilon_{ijk}A_j B_k$
勾配/Gradient $\mathrm{grad\,}\phi=\boldsymbol{\nabla}\phi$ $\partial_i\phi$
回転/Rotation/Curl $\mathrm{rot\,}\boldsymbol{A}=\boldsymbol{\nabla}\times\boldsymbol{A}$ $\epsilon_{ijk}\partial_jA_k$
発散/Divergence $\mathrm{div\,}\boldsymbol{A}=\boldsymbol{\nabla}\cdot\boldsymbol{A}$ $\partial_iA_i$
Lapracian $\boldsymbol{\Delta\,}\phi=\mathrm{div\,grad\,}\phi=\boldsymbol{\nabla\,}\cdot\boldsymbol{\nabla\,}\phi$ $\partial_i\partial_i \phi$

行列

一般的には,ベクトル演算は行列やテンソルの演算に含まれます.

そのような場合には,計算結果が行列式の形にまとめられる場合があります.
(例:積分の座標変換でヤコビアンを計算する場合)

そこで,行列式がどのように表されるのか,知っておく必要があります:
$n\times n$行列$A=(a_{i,j})$の行列式は,
\begin{align}
\mathrm{det\,}A
&=\epsilon_{i_1i_2\cdots i_n} a_{1i_1}a_{2i_2}\cdots a_{ni_n}\\
&=\epsilon_{i_1i_2\cdots i_n} a_{i_11}a_{i_22}\cdots a_{i_nn}
\end{align}
と書くことができます.

また,$\epsilon_{i_1i_2\cdots i_n}$の反対称性から
\begin{align}
\epsilon_{j_1j_2\cdots j_n}\mathrm{det\,}A
&=\epsilon_{i_1i_2\cdots i_n} a_{j_1 i_1}a_{j_2 i_2}\cdots a_{j_n i_n}\\
&=\epsilon_{i_1i_2\cdots i_n} a_{i_1 j_1}a_{i_2 j_2}\cdots a_{i_n j_n}
\end{align}
であることもわかります.


公式の導出手順

ベクトル解析のどんな公式も,以下の手順で導けます!

手順
Step. 1
成分表記で書き下す
Step. 2
完全反対称テンソル(Levi-Civita記号)の縮約をする(完全反対称テンソル(Levi-Civita記号)の縮約公式)
Step. 3
綺麗な形にまとめる

公式とその導出

スカラー三重積:$\boldsymbol{a}\cdot (\boldsymbol{b}\times \boldsymbol{c})=(\boldsymbol{a}\times \boldsymbol{b})\cdot \boldsymbol{c}$

ベクトルの外積が
$$(\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b})_i=\epsilon_{ijk}a_j b_k$$
で表わされることから,
\begin{align}
&\boldsymbol{a}\cdot (\boldsymbol{b}\times \boldsymbol{c})
=a_i (\epsilon_{ijk} b_j c_k)
=\color{red}{\epsilon_{ijk} a_i b_j c_k}
=(\epsilon_{kij} a_i b_j ) c_k
=(\boldsymbol{a}\times \boldsymbol{b})\cdot \boldsymbol{c}
\end{align}


ベクトル三重積:$\boldsymbol{a}\times (\boldsymbol{b}\times \boldsymbol{c})=(\boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{c})\boldsymbol{b} -(\boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{b})\boldsymbol{c}$

完全反対称テンソル(Levi-Civita記号)の縮約公式を使うと,
\begin{align}
[\boldsymbol{a}\times (\boldsymbol{b}\times \boldsymbol{c})]_i
=\epsilon_{ijk}a_j(\epsilon_{klm}b_l c_m)
=(\delta_{il}\delta_{jm}-\delta_{im}\delta_{jl}) a_j b_l c_m
= (\boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{c})b_i -(\boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{b})c_i
\end{align}


$\mathrm{rot\,}\mathrm{grad\,}=0,\quad \mathrm{div\,}\mathrm{rot\,}=0$

rot grad=0, div rot=0
微分の順序を交換できるとき*1
以下の重要な性質が成り立ちます:

\begin{align} \epsilon_{ijk}\partial_j\partial_k=0 \end{align}

この式は,反対称性から簡単に導けます:
$$\epsilon_{ijk}\partial_j\partial_k=\epsilon_{ijk}\partial_k\partial_j.$$
ここで$j\leftrightarrow k$とし,$\epsilon_{ijk}$の反対称性を用いると
$$\epsilon_{ijk}\partial_j\partial_k
=\epsilon_{ikj}\partial_j\partial_k
=-\epsilon_{ijk}\partial_j\partial_k.$$
であるから,上の式が導かれた.


これを利用すると,以下の公式が導けます:
\begin{align}
&(\mathrm{rot\,}\mathrm{grad\,}\phi)_i
=\epsilon_{ijk}\partial_j\partial_k\phi
=0\\
&\mathrm{div\,}\mathrm{rot\,}\boldsymbol{A}
=\partial_i\epsilon_{ijk}\partial_j A_k
=0
\end{align}


$\mathrm{rot\,}\mathrm{rot\,}\boldsymbol{A}=\mathrm{grad\,}\mathrm{div\,}\boldsymbol{A}-\boldsymbol{\Delta\,A}$

rot rot
\begin{align}
(\mathrm{rot\,}\mathrm{rot\,}\boldsymbol{A})_i
=\epsilon_{ijk}\partial_j(\epsilon_{klm}\partial_l A_m)
=(\delta_{il}\delta_{jm}-\delta_{im}\delta_{jl})\partial_j\partial_l A_m
=\partial_i\partial_j A_j-\partial_j\partial_jA_i
=[\mathrm{grad\,}\mathrm{div\,}\boldsymbol{A}-\boldsymbol{\Delta\,A}]_i
\end{align}


$\mathrm{div\,}(\boldsymbol{A}\times\boldsymbol{B})=\boldsymbol{B}\cdot\mathrm{rot\,}\boldsymbol{A}-\boldsymbol{A}\cdot\mathrm{rot\,}\boldsymbol{B}$

div (A×B)
\begin{align}
\mathrm{div\,}(\boldsymbol{A}\times\boldsymbol{B})
=\partial_i(\epsilon_{ijk}A_jB_k)
=\epsilon_{ijk}(\partial_iA_j)B_k+\epsilon_{ijk}A_j(\partial_iB_k)
=B_k\epsilon_{kij}\partial_iA_j - A_j\epsilon_{jik}\partial_iB_k
=\boldsymbol{B}\cdot\mathrm{rot\,}\boldsymbol{A}-\boldsymbol{A}\cdot\mathrm{rot\,}\boldsymbol{B}
\end{align}

逆行列の公式:クラメルの公式(Cramer's rule)

正方行列$A$の$(i,j)$成分を$a_{i,j}$と表します.
このとき,$i$成分が$1$で他の成分が$0$の単位ベクトル$e_i$,
$A$の余因子行列$\Delta$を,$(i,j)$成分が
\begin{align}
\Delta_{ij}
&:=\det{\left(Ae_1,...,\overset{i\text{番目}}{\breve{e_j}},...,Ae_n\right)}
\end{align}
の行列として定義すると,
\begin{align}
\sum_{i}\Delta_{ik}a_{kj}
&=\sum_{k}\det{\left(Ae_1,...,\overset{i\text{番目}}{\breve{e_k}},...,Ae_n\right)}a_{kj}\\
&=\det{\left(Ae_1,...,\overset{i\text{番目}}{\breve{\sum_{k}e_ka_{kj}}},...,Ae_n\right)}\\
&=\det{\left(Ae_1,...,\overset{i\text{番目}}{\breve{Ae_j}},...,Ae_n\right)}\\
&=
\begin{cases}
\,\det{A} &(i=j)\\
\,0&(i\neq j)
\end{cases}
\end{align}

以上より,$\det{A}\neq 0$のとき
\begin{align}
\frac{1}{\det{A}} \Delta A
=I
\end{align}



*1:フツーできるときしか考えないので,あまり気にしないように.