Bayes' theorem (ベイズの定理)とその応用例

ベイズの定理

以下の等式が成立することをベイズの定理と呼びます:

ベイズの定理
\begin{align} P(B|A)=\frac{P(B)P(A|B)}{P(A)} \end{align}

この式は,条件付き確率の定義
\begin{align}
P(B|A)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)},\qquad
P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}
\end{align}
から導かれます.

この定理を利用することで,$P(A|B)$から$P(B|A)$を求めることができます.
以下で例を見てみましょう.


応用問題とその解法

ベイズの定理の応用問題として
確率空間が$\Omega=B_1+\cdots +B_n$と直和で表されるときに
\begin{align}
P(B_i|A)=\frac{P(B_i)P(A|B_i)}{P(A)}
\end{align}
を求めるものがあります.この問題のパターンは

  1. $P(A)$がわからない場合
  2. $P(B_i)$がわからない場合

の2つです.


1. $P(A)$がわからない場合
\begin{align}
P(A)
=\sum_{j=1}^n P(A\cap B_j)
=\sum_{j=1}^n P(B_j) P(A|B_j)
\end{align}
から,$P(B_i|A)$を計算することができます.


2. $P(B_i)$がわからない場合
$P(B_j|A)\quad(j\neq i)$が与えられていれば,
\begin{align}
P(B_i|A)&=\frac{P(B_i)P(A|B_i)}{P(A)}\\
P(B_j|A)&=\frac{P(B_j)P(A|B_j)}{P(A)}
\end{align}
の比をとることで$P(B_i|A)$を計算することができます.


応用例 (病気の診断1)

病人の症状$S$から病気$D$である確率$P(D|S)$を求めることを考えましょう.
もし

  1. 病人の病気が$D$である確率$P(D)$
  2. 病人が症状$S$を持つ確率$P(S)$
  3. 病気$D$であるときに症状$S$が現れる確率$P(S|D)$

の3つがわかっていれば,ベイズの定理から
\begin{align}
P(D|S)=\frac{P(D)P(S|D)}{P(S)}
\end{align}
と病気$D$である確率を求めることができます.

応用例 (病気の診断2)

上の例で,病気が$(D_1,...,D_n)$のいずれかであることがわかっていれば,上述の応用パターン1が使えます.
即ち,病気$D_i$である確率は
\begin{align}
P(D_i|S)=\frac{P(D_i)P(S|D_i)}{\sum_j P(D_j)P(S|D_j)}
\end{align}
と表されます.

数理統計学 (数学シリーズ)

数理統計学 (数学シリーズ)