【定理・例】Lebesgue積分論のご利益1・微積分の順序交換

定理

定理(微積分の順序交換)
$(X,\Omega,\mu)$を測度空間,$f$を以下の条件を満たす$X\times (a,b)$上の関数とする:
  1. 任意の$\alpha\in (a,b)$に対して,$f_\alpha: X\ni x\mapsto f(x,\alpha)$が$X$上可積分.
  2. 任意の$x\in X$に対して,$f_x: (a,b)\ni \alpha\mapsto f(x,\alpha)$が$(a,b)$上可微分.
  3. $X$上の可積分関数$\varphi$が存在し,$\left|\dfrac{\partial f}{\partial \alpha}(x,\alpha)\right|\leq \varphi(x)\qquad \forall(x,\alpha)\in X\times (a,b)$
このとき,次の式が成り立つ: \begin{align} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\alpha}\int_X f(x,\alpha)\,d\mu(x) =\int_X \frac{\partial f}{\partial \alpha}(x,\alpha)\,d\mu(x) \end{align}

例1:Gauss積分

以下の式が成り立つ: \begin{align} \int_0^\infty x^{2n} e^{-\alpha x^2}\,\mathrm{d}x =\frac{(2n-1)!!}{2^{n+1}}\sqrt{\pi} \alpha^{-1/2-n} \qquad (\alpha >0) \end{align}
Step1.

Gauss積分$\displaystyle \int_0^\infty e^{-x^2}\,\mathrm{d}x=\frac{\sqrt{\pi}}{2}$で$x=\sqrt{\alpha} t$とすると,
\begin{align}
\int_0^\infty e^{-\alpha x^2}\,\mathrm{d}x=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{\pi}{\alpha}}.
\tag{1}
\label{eq:gauss_int}
\end{align}

Step2.

$\displaystyle\frac{\partial^n}{\partial \alpha^n}e^{-\alpha x^2}=(-x^2)^ne^{-\alpha x^2}$だから,$0< a <\alpha$をとると任意の$n$に対して$$\Bigl|\frac{\partial^n}{\partial \alpha^n}e^{-\alpha x^2} \Bigr|\leq \color{red}{x^{2n} e^{-ax^2}}$$である.
また,$\displaystyle e^{ax^2}\geq \dfrac{(ax^2)^{n+1}}{(n+1)!}$であることに注意すれば,
\begin{align}
\int_0^{\infty} \color{red}{x^{2n} e^{-ax^2}} \,\mathrm{d}x
\leq \frac{(n+1)!}{a^{n+1}} \int_0^{\infty} \frac{\mathrm{d}x}{x^2}
<\infty
\end{align}
が成り立つ.

従って上述の定理より,帰納的に任意の$n$に対して
\begin{align}
\frac{\mathrm{d}^n}{\mathrm{d}\alpha^n}\int_0^\infty e^{-\alpha x^2}\,\mathrm{d}x
=\int_0^\infty \frac{\partial^n}{\partial\alpha^n}e^{-\alpha x^2}\,\mathrm{d}x.
\end{align}

Step3.

式 (\ref{eq:gauss_int})の両辺を$\alpha$で微分すると求める式が得られる.


参考文献

ルベーグ積分入門 (数学選書 (4))