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中心極限定理 (Central limit theorem, CLT) とその応用例

中心極限定理

平均$\mu$,分散$\sigma^2$の独立同一分布に従う確率変数列$X_1,...,X_n$を考える.
このとき,
\begin{align}
S_n:=\frac{X_1+\cdots +X_n}{n}
\end{align}
に対して
\begin{align}
\lim_{n\to\infty}
P\Biggl(\frac{\sqrt{n}(S_n-\mu)}{\sigma}\leq z\Biggr)
&=N(0,1)\\
&=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^z e^{-x^2/2}\,\mathrm{d}x
\end{align}
が成立する.


応用例 (コイン投げ)

$n$回のコイン投げで,表の出た回数$T_n$が$(a,b]$の範囲にある確率$P(a < T_n\leq b)$を見積もる事を考える.

$X_n$を
\begin{align}
X_n=
\begin{cases}
\,1&(n\text{回目に表})\\
\,0&(n\text{回目に裏})
\end{cases}
\end{align}
で定めると,$\{X_n\}$は独立確率変数列となる.

$P(X_n=1)=P(X_n=0)=1/2$より$\mu=\sigma=1/2$なので,表の出た回数
\begin{align}
T_n:=X_1+\cdots +X_n
\end{align}
に対して
\begin{align}
\lim_{n\to\infty}
P\Biggl(2\sqrt{n}(T_n/n-1/2)\leq z\Biggr)
&=\lim_{n\to\infty}
P\Biggl(T_n\leq \frac{\sqrt{n}z+n}{2}\Biggr)\\
&=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^z e^{-x^2/2}\,\mathrm{d}x
\end{align}
が成立.従って,$n$が十分大きいとき,
\begin{align}
P\Biggl(a < T_n\leq b\Biggr)
&\simeq\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{(2a-n)/\sqrt{n}}^{(2b-n)/\sqrt{n}} e^{-x^2/2}\,\mathrm{d}x
\end{align}
と見積もることができる.