POINT
- 正項級数の収束を判定する方法と例の紹介．
正項級数というと特殊な感じがするかもしれません．しかし，
\begin{aligned}
\biggl| \sum_n a_n \biggr|
\leq \sum_{n} |a_{n}|
\end{aligned}
から\biggl| \sum_n a_n \biggr|
\leq \sum_{n} |a_{n}|
\end{aligned}
が成り立つ（級数が絶対収束するなら，条件収束する）ので，級数の収束判定では避けて通ることはできません．
【関連記事】
- 正項級数の収束判定に関する定理
- 【例】比較基準として用いられる正項級数
- 【例】基準を用いた判定
- 【例】d'Alembertの判定法
- 【例】Cauchyの判定法
- 【例】$a_n\sim b_n\quad(n\rightarrow \infty)$を用いた判定法
- 参考文献
正項級数の収束判定に関する定理
まずは，収束判定に用いられる定理を列挙します．以下，$\displaystyle \sum_n a_n,\sum_n b_n$を正項級数とします．
d'Alembert's ratio test
\begin{aligned}
\underset{n\rightarrow \infty}{\lim\sup}\frac{a_{n+1}}{a_n}<1
&\qquad\Rightarrow\text{収束}\\
{}^\exists n_0\mathrm{~s.t.~} n\geq n_0\Rightarrow \frac{a_{n+1}}{a_n}\geq 1
&\qquad\Rightarrow\text{発散}
\end{aligned}
\underset{n\rightarrow \infty}{\lim\sup}\frac{a_{n+1}}{a_n}<1
&\qquad\Rightarrow\text{収束}\\
{}^\exists n_0\mathrm{~s.t.~} n\geq n_0\Rightarrow \frac{a_{n+1}}{a_n}\geq 1
&\qquad\Rightarrow\text{発散}
\end{aligned}
Cauchy root test / Cauchy's radical test
$\alpha:=\underset{n\rightarrow \infty}{\lim\sup}\sqrt[n]{a_n}$とするとき
\begin{aligned}
\begin{cases}
\alpha < 1&\Rightarrow\text{収束}\\
\alpha > 1&\Rightarrow\text{発散}\\
\alpha = 1&\Rightarrow\text{不明}
\end{cases}
\end{aligned}
\begin{cases}
\alpha < 1&\Rightarrow\text{収束}\\
\alpha > 1&\Rightarrow\text{発散}\\
\alpha = 1&\Rightarrow\text{不明}
\end{cases}
\end{aligned}
その他
$a_n\sim b_n\quad(n\rightarrow \infty)$
$\Rightarrow \sum a_n$と$\sum b_n$は収束・発散をともにする．
（注：記号"$\sim$"について：ランダウの記号の使い方 - Notes_JP）
この定理は，「$n\rightarrow\infty$での振る舞いが収束・発散を決める」ことを意味しています．
【例】比較基準として用いられる正項級数
まず，他の級数と比較する際によく用いられる例を挙げます．1/n^p, 1/n(log n)^p
\begin{aligned}
\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^p}\qquad&
\begin{cases}
\,p>1 &\text{収束}\\
\,p\leq 1 &\text{発散}
\end{cases}\\
%
\sum_{n=2}^\infty \frac{1}{n(\log n)^p}\qquad&
\begin{cases}
\,p>1 &\text{収束}\\
\,p\leq 1 &\text{発散}
\end{cases}
\end{aligned}
\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^p}\qquad&
\begin{cases}
\,p>1 &\text{収束}\\
\,p\leq 1 &\text{発散}
\end{cases}\\
%
\sum_{n=2}^\infty \frac{1}{n(\log n)^p}\qquad&
\begin{cases}
\,p>1 &\text{収束}\\
\,p\leq 1 &\text{発散}
\end{cases}
\end{aligned}
【例】基準を用いた判定
他の級数との比較により収束・発散を判定できる例を見てみましょう．| $a_n$ | 収束/発散 | 理由 |
|---|---|---|
| $\dfrac{1}{\log(n+1)}$ | 発散 | $\dfrac{1}{\log(n+1)} > \dfrac{1}{n}$ |
| $\dfrac{1}{n^{\log n}}$ | 収束 | $\dfrac{1}{n^{\log n}} < \dfrac{1}{n^2}\quad (n\geq {}^\exists n_0)$ |
| $\dfrac{1}{(\log n)^n}$ | 収束 | $\dfrac{1}{(\log n)^n} < \dfrac{1}{2^n}\quad (n\geq {}^\exists n_0)$ |
| $\dfrac{1}{[\log (n+1)]^p}\quad(p>0)$ | 発散 | $\dfrac{1}{[\log (n+1)]^p} > \dfrac{1}{n}\quad (n\geq {}^\exists n_0)$ |
| $a^{\log n}\quad(a>0)$ | $\begin{cases}\,a<1/e&\text{収束}\\ \,a\geq 1/e&\text{発散}\end{cases}$ | $a^{\log n}=e^{\log n\cdot \log a}=n^{\log a}$ |
| $n^{-a/n}$ | 発散 | $n^{-a/n}>n^{-1}\quad(n>a)$ |
| $\dfrac{\log n}{n^a}$ | $\begin{cases}\,a>1&\text{収束}\\ \,a\leq 1&\text{発散}\end{cases}$ | $\dfrac{\log n}{n^a}\begin{cases} < 1/n^b&(a>b>1)\\ \, > 1/n &(a\leq 1)\end{cases}$ |
【例】d'Alembertの判定法
$a>0$とする．| $a_n$ | $\dfrac{a_{n+1}}{a_n}$ | 収束/発散 |
|---|---|---|
| $\dfrac{n^a}{n!}$ | $\dfrac{1}{n+1}\biggl(1+\dfrac{1}{n}\biggr)^{a}\rightarrow0\quad(n\rightarrow\infty)$ | 収束 |
| $\dfrac{n}{a^n}$ | $\dfrac{1}{a} < \dfrac{1}{a}\biggl(1+\dfrac{1}{n}\biggr)\rightarrow\dfrac{1}{a}\quad(n\rightarrow\infty)$ | $\begin{cases}\,a > 1&\text{収束}\\ \,a \leq 1&\text{発散}\end{cases}$ |
| $\dfrac{a^n}{n^2}$ | $a > a\biggl(1+\dfrac{1}{n}\biggr)^{-2}\rightarrow a\quad(n\rightarrow\infty)$ | $\begin{cases}\,a \leq 1&\text{収束}\\ \,a > 1&\text{発散}\end{cases}$ |
| $n^2\biggl(\dfrac{2}{3}\biggr)^n$ | $\dfrac{2}{3}\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^{2}\rightarrow \dfrac{2}{3}\quad(n\rightarrow\infty)$ | 収束 |
| $n^3\sin(\pi/2^n)$ | $n^3\sin(\pi/2^n)\sim \pi\dfrac{n^3}{2^n},\quad \dfrac{1}{2}\biggl(1+\dfrac{1}{n}\biggr)^{3}\rightarrow \dfrac{1}{2}\quad(n\rightarrow\infty)$ | 収束 |
| $\dfrac{n!}{2^n}$ | $\dfrac{n+1}{2}\rightarrow \infty\quad(n\rightarrow\infty)$ | 発散 |
| $\dfrac{(n!)^2}{(2n)!}a^n$ | $\dfrac{(n+1)^2}{(2n+2)(2n+1)}a\rightarrow \dfrac{a}{4}\quad(n\rightarrow\infty)$ | $\begin{cases}\,a < 4&\text{収束}\\ \,a \geq 4&\text{発散}\end{cases}$ |
【例】Cauchyの判定法
Ratio test では判定不可でも，Root test では判定できる例①
\begin{aligned}
\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\cdots
\end{aligned}
すなわち，\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\cdots
\end{aligned}
\begin{aligned}
\begin{cases}
\,a_{2n-1}&=1/2^n \\
\,a_{2n}&=1/3^n
\end{cases}
\end{aligned}
で定義される級数を考えます．\begin{cases}
\,a_{2n-1}&=1/2^n \\
\,a_{2n}&=1/3^n
\end{cases}
\end{aligned}
\begin{aligned}
\begin{cases}
\,\dfrac{a_{2n}}{a_{2n-1}}&=\biggl(\dfrac{2}{3}\biggr)^n < 1\\[0.75em]
\,\dfrac{a_{2n+1}}{a_{2n}}&=\dfrac{1}{2}\biggl(\dfrac{3}{2}\biggr)^n
\end{cases}
\end{aligned}
なので，$\underset{n}{\sup}\biggl\{\dfrac{a_{n+1}}{a_n} \biggr\}=\dfrac{1}{2}\biggl(\dfrac{3}{2}\biggr)^n$．\begin{cases}
\,\dfrac{a_{2n}}{a_{2n-1}}&=\biggl(\dfrac{2}{3}\biggr)^n < 1\\[0.75em]
\,\dfrac{a_{2n+1}}{a_{2n}}&=\dfrac{1}{2}\biggl(\dfrac{3}{2}\biggr)^n
\end{cases}
\end{aligned}
従って，
\begin{aligned}
\limsup_{n\to\infty}\dfrac{a_{n+1}}{a_n} =\infty
\end{aligned}
となり，Ratio testでは判定ができません．\limsup_{n\to\infty}\dfrac{a_{n+1}}{a_n} =\infty
\end{aligned}
次にRoot testを考えてみましょう．
\begin{aligned}
\begin{cases}
\,\sqrt[2n-1]{a_{2n-1}}&=\dfrac{1}{\sqrt{2}}2^{-\frac{1}{2(2n-1)}}\\
\,\sqrt[2n]{a_{2n}}&=\dfrac{1}{\sqrt{3}}
\end{cases}
\end{aligned}
なので，十分大きな$n$に対し$\sup \sqrt[n]{a_n}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}2^{-\frac{1}{2n}}$となります．これより\begin{cases}
\,\sqrt[2n-1]{a_{2n-1}}&=\dfrac{1}{\sqrt{2}}2^{-\frac{1}{2(2n-1)}}\\
\,\sqrt[2n]{a_{2n}}&=\dfrac{1}{\sqrt{3}}
\end{cases}
\end{aligned}
\begin{aligned}
\limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n}=\dfrac{1}{\sqrt{2}} < 1.
\end{aligned}
従って，収束することがわかりました．\limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n}=\dfrac{1}{\sqrt{2}} < 1.
\end{aligned}
【例】$a_n\sim b_n\quad(n\rightarrow \infty)$を用いた判定法
最後に，$n\rightarrow\infty$の振る舞いを比較する判定法を見てみましょう．右辺のように収束・発散が既知の正項級数に帰着させれば，収束・発散が判定できます．
\begin{aligned}
&\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}\sim\frac{1}{4n^2}\\
&\frac{\sqrt{n}}{n-1}\sim\frac{1}{\sqrt{n}}\\
&\frac{1}{n(n+1)(n+2)}\sim\frac{1}{n^3}\\
&\frac{1}{\sqrt{n(n+1)}}\sim\frac{1}{n}\\
&\frac{n^p}{(n+1)^{p+q}}\sim \frac{1}{n^q}\\
&\sum_{k=1}^n \frac{1}{k}\sim \log n\\
&\frac{1}{n\left(1+1/2+ \cdots +1/n\right)}\sim\frac{1}{n\log n}\\
&\sin\frac{\theta}{n}\sim \frac{\theta}{n}\quad(\theta\neq 0)\\
&\frac{n^2+(\log \log n)^8}{\sqrt{n^6-1}(\log n)^2+\log n}
\sim \frac{n^2}{\sqrt{n^6}(\log n)^2}
=\frac{1}{n (\log n)^2}\\
&\frac{1}{n}\log\left(1+\frac{1}{n}\right)\sim \frac{1}{n^2},\quad\\
&a^{1/n}-1=e^{\frac{1}{n}\log a}-1\sim \dfrac{1}{n}\log a \quad(a>1)\\
&\sqrt[n]{n}-1=e^{\frac{1}{n}\log n}\sim\frac{\log n}{n}\\
&\frac{1}{n^p(\sqrt[n]{n}-1)}\sim\frac{1}{n^{p-1}\log n}
\begin{cases}
\geq\dfrac{1}{n\log n} \quad(p\leq 2)\\
=O\left(\frac{1}{n^a}\right) \quad(p> 2, 1 < a < p-1)
\end{cases}\\
&\left(1-\frac{1}{n}\right)^{n^2}
=\exp\left[n^2\log\left(1-\frac{1}{n}\right)\right]
% =\exp\left[n^2\log\left(-\frac{1}{n}-\frac{1}{2n^2}+O(1/n^3)\right)\right]
=\exp\left[-n-\frac{1}{2}+O(1/n)\right]
\sim \frac{1}{\sqrt{e}}\left(\frac{1}{e}\right)^n\\
&\left(1-\frac{1}{n}\log n\right)^n
=\exp\left[n\log\left(1-\frac{1}{n}\log n\right)\right]
=\exp\left[-\log n+O\left(\frac{(\log n)^2}{n}\right)\right]
\sim \frac{1}{n}
\end{aligned}
&\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}\sim\frac{1}{4n^2}\\
&\frac{\sqrt{n}}{n-1}\sim\frac{1}{\sqrt{n}}\\
&\frac{1}{n(n+1)(n+2)}\sim\frac{1}{n^3}\\
&\frac{1}{\sqrt{n(n+1)}}\sim\frac{1}{n}\\
&\frac{n^p}{(n+1)^{p+q}}\sim \frac{1}{n^q}\\
&\sum_{k=1}^n \frac{1}{k}\sim \log n\\
&\frac{1}{n\left(1+1/2+ \cdots +1/n\right)}\sim\frac{1}{n\log n}\\
&\sin\frac{\theta}{n}\sim \frac{\theta}{n}\quad(\theta\neq 0)\\
&\frac{n^2+(\log \log n)^8}{\sqrt{n^6-1}(\log n)^2+\log n}
\sim \frac{n^2}{\sqrt{n^6}(\log n)^2}
=\frac{1}{n (\log n)^2}\\
&\frac{1}{n}\log\left(1+\frac{1}{n}\right)\sim \frac{1}{n^2},\quad\\
&a^{1/n}-1=e^{\frac{1}{n}\log a}-1\sim \dfrac{1}{n}\log a \quad(a>1)\\
&\sqrt[n]{n}-1=e^{\frac{1}{n}\log n}\sim\frac{\log n}{n}\\
&\frac{1}{n^p(\sqrt[n]{n}-1)}\sim\frac{1}{n^{p-1}\log n}
\begin{cases}
\geq\dfrac{1}{n\log n} \quad(p\leq 2)\\
=O\left(\frac{1}{n^a}\right) \quad(p> 2, 1 < a < p-1)
\end{cases}\\
&\left(1-\frac{1}{n}\right)^{n^2}
=\exp\left[n^2\log\left(1-\frac{1}{n}\right)\right]
% =\exp\left[n^2\log\left(-\frac{1}{n}-\frac{1}{2n^2}+O(1/n^3)\right)\right]
=\exp\left[-n-\frac{1}{2}+O(1/n)\right]
\sim \frac{1}{\sqrt{e}}\left(\frac{1}{e}\right)^n\\
&\left(1-\frac{1}{n}\log n\right)^n
=\exp\left[n\log\left(1-\frac{1}{n}\log n\right)\right]
=\exp\left[-\log n+O\left(\frac{(\log n)^2}{n}\right)\right]
\sim \frac{1}{n}
\end{aligned}
