【判定法・例】正項級数の収束判定

この記事では,正項級数の収束判定に関する事項をまとめます.

正項級数というと特殊な感じがしますね.しかし,
\begin{align}
\left| \sum_n a_n\right|\leq \sum_n |a_n|
\end{align}
から
\begin{align}
\underset{\text{正項級数!}}{\underline {\sum_n |a_n|}}\text{が収束(絶対収束) }\Rightarrow\sum_n a_n \text{が収束(条件収束) }
\end{align}
が成り立つので,級数の収束判定では避けて通ることはできません.

正項級数の収束判定に関する定理

以下,$\displaystyle \sum_n a_n,\sum_n b_n$を正項級数とする.

d'Alembert's ratio test
\begin{align} \underset{n\rightarrow \infty}{\lim\sup}\frac{a_{n+1}}{a_n}<1 &\qquad\Rightarrow\text{収束}\\ {}^\exists n_0\mathrm{~s.t.~} n\geq n_0\Rightarrow \frac{a_{n+1}}{a_n}\geq 1 &\qquad\Rightarrow\text{発散} \end{align}

Cauchy root test / Cauchy's radical test
$\alpha:=\underset{n\rightarrow \infty}{\lim\sup}\sqrt[n]{a_n}$とするとき \begin{align} \begin{cases} \alpha<1&\Rightarrow\text{収束}\\ \alpha>1&\Rightarrow\text{発散}\\ \alpha=1&\Rightarrow\text{不明} \end{cases} \end{align}

その他
$a_n\sim b_n\quad(n\rightarrow \infty)$ $\Rightarrow \sum a_n$と$\sum b_n$は収束・発散をともにする.

(記号"$\sim$"について:Landau symbol (ランダウの記号) - UNTITLED MEMORANDUM)
この定理は,「$n\rightarrow\infty$での振る舞いが収束・発散を決める」ことを意味しています.


比較基準として用いられる正項級数の例

まず,他の級数と比較する際によく用いられる例を挙げます.
1/n^p, 1/n(log n)^p
\begin{align}
\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^p}\qquad&
\begin{cases}
\,p>1 &\text{収束}\\
\,p\leq 1 &\text{発散}
\end{cases}\\
%
\sum_{n=2}^\infty \frac{1}{n(\log n)^p}\qquad&
\begin{cases}
\,p>1 &\text{収束}\\
\,p\leq 1 &\text{発散}
\end{cases}
\end{align}


基準を用いた判定

他の級数との比較により収束・発散を判定できる例を見てみましょう.
1/log (n+1), 1/n^log n, 1/(log n)^n, 1/log (n+1)^p, a^log n, n^(-a/n), log n/n^a

$a_n$ 収束/発散 理由
$\dfrac{1}{\log(n+1)}$ 発散 $\dfrac{1}{\log(n+1)} > \dfrac{1}{n}$
$\dfrac{1}{n^{\log n}}$ 収束 $\dfrac{1}{n^{\log n}} < \dfrac{1}{n^2}\quad (n\geq {}^\exists n_0)$
$\dfrac{1}{(\log n)^n}$ 収束 $\dfrac{1}{(\log n)^n} < \dfrac{1}{2^n}\quad (n\geq {}^\exists n_0)$
$\dfrac{1}{[\log (n+1)]^p}\quad(p>0)$ 発散 $\dfrac{1}{[\log (n+1)]^p} > \dfrac{1}{n}\quad (n\geq {}^\exists n_0)$
$a^{\log n}\quad(a>0)$ $\begin{cases}\,a<1/e&\text{収束}\\ \,a\geq 1/e&\text{発散}\end{cases}$ $a^{\log n}=e^{\log n\cdot \log a}=n^{\log a}$
$n^{-a/n}$ 発散 $n^{-a/n}>n^{-1}\quad(n>a)$
$\dfrac{\log n}{n^a}$ $\begin{cases}\,a>1&\text{収束}\\ \,a\leq 1&\text{発散}\end{cases}$ $\dfrac{\log n}{n^a}\begin{cases}<\dfrac{1}{n^b}&(a>b>1)\\ \,>\dfrac{1}{n}&(a\leq 1)\end{cases}$

d'Alembertの判定法

n^a/n!, n/a^n, a^n/n^2, 2n^2/3, n^3 sin(π/2^n), n!/2^n, n!^2/(2n)!
$a>0$とする.

$a_n$ $\dfrac{a_{n+1}}{a_n}$ 収束/発散
$\dfrac{n^a}{n!}$ $\dfrac{1}{n+1}\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^{a}\rightarrow0\quad(n\rightarrow\infty)$ 収束
$\dfrac{n}{a^n}$ $\dfrac{1}{a}\left(1+\dfrac{1}{n}\right)\rightarrow\dfrac{1}{a}\quad(n\rightarrow\infty)$ $\begin{cases}\,a > 1&\text{収束}\\ \,a \leq 1&\text{発散}\end{cases}$
$\dfrac{a^n}{n^2}$ $a\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^{-2}\rightarrow a\quad(n\rightarrow\infty)$ $\begin{cases}\,a < 1&\text{収束}\\ \,a \geq 1&\text{発散}\end{cases}$
$n^2\left(\dfrac{2}{3}\right)^n$ $\dfrac{2}{3}\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^{2}\rightarrow \dfrac{2}{3}\quad(n\rightarrow\infty)$ 収束
$n^3\sin(\pi/2^n)$ $n^3\sin(\pi/2^n)\sim \pi\dfrac{n^3}{2^n},\quad \dfrac{1}{2}\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^{3}\rightarrow \dfrac{1}{2}\quad(n\rightarrow\infty)$ 収束
$\dfrac{n!}{2^n}$ $\dfrac{n+1}{2}\rightarrow \infty\quad(n\rightarrow\infty)$ 発散
$\dfrac{(n!)^2}{(2n)!}a^n$ $\dfrac{(n+1)^2}{(2n+2)(2n+1)}a\rightarrow \dfrac{a}{4}\quad(n\rightarrow\infty)$ $\begin{cases}\,a < 4&\text{収束}\\ \,a \geq 4&\text{発散}\end{cases}$

Cauchyの判定法

Ratio test では判定不可でも,Root test では判定できる例①

\begin{align}
\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\cdots
\end{align}
すなわち,
\begin{align}
\begin{cases}
\,a_{2n-1}&=\dfrac{1}{2^n}\\
\,a_{2n}&=\dfrac{1}{3^n}
\end{cases}
\end{align}
で定義される級数を考えます.

\begin{align}
\begin{cases}
\,\dfrac{a_{2n}}{a_{2n-1}}&=\left(\dfrac{2}{3}\right)^n <1\\
\,\dfrac{a_{2n+1}}{a_{2n}}&=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{3}{2}\right)^n
\end{cases}
\end{align}
なので,$\underset{n}{\sup}\left\{\dfrac{a_{n+1}}{a_n} \right\}=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{3}{2}\right)^n$.
従って,
\begin{align}
\limsup_{n\to\infty}\dfrac{a_{n+1}}{a_n} =\infty
\end{align}
となり,Ratio testでは判定ができません.


次にRoot testを考えてみましょう.
\begin{align}
\begin{cases}
\,\sqrt[2n-1]{a_{2n-1}}&=\dfrac{1}{\sqrt{2}}2^{-\frac{1}{2(2n-1)}}\\
\,\sqrt[2n]{a_{2n}}&=\dfrac{1}{\sqrt{3}}
\end{cases}
\end{align}
なので,十分大きな$n$に対し$\sup \sqrt[n]{a_n}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}2^{-\frac{1}{2n}}$となります.これより
\begin{align}
\limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}<1.
\end{align}
従って,収束することがわかりました.



$a_n\sim b_n\quad(n\rightarrow \infty)$を用いた判定法

最後に,$n\rightarrow\infty$の振る舞いを比較する判定法を見てみましょう.
右辺のように収束・発散が既知の正項級数に帰着させれば,収束・発散が判定できます.
1/(2n-1)(2n+1), √n/(n-1), 1/n(n+1)(n+2), 1/√n(n+1), n^p/(n+1)^(p+q), Σ 1/k, 1/(1+1/2+...+1/n), sin(θ/n), log(1+1/n)/n, a^(1/n)-1, n^(-1/n)-1, (1-1/n)^(n^2), (1-\log n/n)^n
\begin{align}
&\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}\sim\frac{1}{4n^2}\\
&\frac{\sqrt{n}}{n-1}\sim\frac{1}{\sqrt{n}}\\
&\frac{1}{n(n+1)(n+2)}\sim\frac{1}{n^3}\\
&\frac{1}{\sqrt{n(n+1)}}\sim\frac{1}{n}\\
&\frac{n^p}{(n+1)^{p+q}}\sim \frac{1}{n^q}\\
&\sum_{k=1}^n \frac{1}{k}\sim \log n\\
&\frac{1}{n\left(1+1/2+ \cdots +1/n\right)}\sim\frac{1}{n\log n}\\
&\sin\frac{\theta}{n}\sim \frac{\theta}{n}\quad(\theta\neq 0)\\
&\frac{n^2+(\log \log n)^8}{\sqrt{n^6-1}(\log n)^2+\log n}
\sim \frac{n^2}{\sqrt{n^6}(\log n)^2}
=\frac{1}{n (\log n)^2}\\
&\frac{1}{n}\log\left(1+\frac{1}{n}\right)\sim \frac{1}{n^2},\quad\\
&a^{1/n}-1=e^{\frac{1}{n}\log a}-1\sim \dfrac{1}{n}\log a \quad(a>1)\\
&\sqrt[n]{n}-1=e^{\frac{1}{n}\log n}\sim\frac{\log n}{n}\\
&\frac{1}{n^p(\sqrt[n]{n}-1)}\sim\frac{1}{n^{p-1}\log n}
\begin{cases}
\geq\dfrac{1}{n\log n} \quad(p\leq 2)\\
=O\left(\frac{1}{n^a}\right) \quad(p> 2, 1 < a < p-1)
\end{cases}\\
&\left(1-\frac{1}{n}\right)^{n^2}
=\exp\left[n^2\log\left(1-\frac{1}{n}\right)\right]
% =\exp\left[n^2\log\left(-\frac{1}{n}-\frac{1}{2n^2}+O(1/n^3)\right)\right]
=\exp\left[-n-\frac{1}{2}+O(1/n)\right]
\sim \frac{1}{\sqrt{e}}\left(\frac{1}{e}\right)^n\\
&\left(1-\frac{1}{n}\log n\right)^n
=\exp\left[n\log\left(1-\frac{1}{n}\log n\right)\right]
=\exp\left[-\log n+O\left(\frac{(\log n)^2}{n}\right)\right]
\sim \frac{1}{n}
\end{align}

参考文献

微分積分学 (サイエンスライブラリ―数学)
The Principles of Mathematical Analysis (International Series in Pure & Applied Mathematics)
詳説演習微分積分学