【定理・例】Lebesgue積分論のご利益2・極限と積分の順序交換

優収束定理 (Dominated convergence theorem)

優収束定理 (Dominated convergence theorem)
$(X,\mathfrak{M},\mu)$を可測空間とする.
  1. $X$上の複素可測関数列$\{f_n\}$が$f$に各点収束する (i.e. $\displaystyle f(x)=\lim_{n\to\infty}f_n(x)\quad\forall x\in X$)
  2. $g\in L^1(\mu)$が存在し,任意の$n$と$x\in X$に対し$|f_n(x)|\leq g(x)$を満たす.

このとき,以下が成立する: \begin{align} \begin{cases} \,1.~& \displaystyle f\in L^1(\mu)\\[5pt] \,2.~& \displaystyle \lim_{n\to\infty}\int_X |f_n-f|\,\mathrm{d}\mu=0\\[5pt] \,3.~& \displaystyle \lim_{n\to\infty}\int_X f_n\,\mathrm{d}\mu=\int_X f\,\mathrm{d}\mu \end{cases}\\ ~ \end{align}

例1

下記定理の例は,優収束定理の例にもなります:

定理
有界区間$[a,b]$上の(Riemann可積分である)関数列$\{f_n\}$が$f$に一様収束するとき, \begin{align*} \lim_{n\to\infty}\int_a^b f_n(x)\,\mathrm{d}x =\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x \end{align*}

【理由】
$\varepsilon>0$に対し,$n_0\in\mathbb{N}$が存在し
\begin{align}
\left|f_n\right| - \left|f\right|
\leq \left|f - f_n\right|
<\varepsilon
\qquad(n\geq n_0)
\end{align}
が成立します.よって,$g=\varepsilon+\left|f\right|$とすれば上記定理が適用できます.


このように,有界区間上で一様収束する関数列の場合には優収束定理が成立します.
しかし,非有界測度の関数列では反例が存在します:

参考文献

The Principles of Mathematical Analysis (International Series in Pure & Applied Mathematics)
Real and Complex Analysis(表紙は赤と緑2種類があります)