Notes_JP

あまり知られていないこと

電気回路〜Maxwell方程式で理解する

高校で習う程度の回路の知識が,電磁気学の理論 (Maxwell方程式)と回路がどうつながっているの?
という疑問を解消する内容にしていく予定です.

Kirchhoffの法則

第一法則

回路の任意の結合点において
\begin{align}
\sum_k I_k =0
\end{align}
が成立する.


第二法則

回路における任意の閉経路において
\begin{align}
\sum_k R_k I_k =\sum_l E_l
\end{align}
が成立する.


インピーダンス

交流
\begin{align}
V=V_0 e^{i(\omega t+\delta)}
\end{align}
を考える.
\begin{align}
V=ZI
\end{align}
と表せるとき,$Z$をインピーダンスと呼ぶ.


抵抗のインピーダンス

Ohmの法則より,
\begin{align}
V=RI
\end{align}
が成立する.よって,
\begin{align}
Z=R
\end{align}
である.


コンデンサーのインピーダンス

コンデンサーの静電容量$C$は
\begin{align}
Q=CV
\end{align}
で定義される.
ここで,$I=\dfrac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}t}$が成り立つ*1から
\begin{align}
I=i\omega C V
\end{align}
よって,
\begin{align}
Z=\frac{1}{i\omega C}
\end{align}
である.


コイルのインピーダンス

自己誘導係数(自己インダクタンス)$L$のコイルを考える.
起電力は
\begin{align}
V&=\frac{\mathrm{d}\Phi}{\mathrm{d}t}\\
&=L\frac{\mathrm{d}I}{\mathrm{d}t}\\
&%無いと切れる
\end{align}
である*2から,両辺を時間積分して
\begin{align}
\frac{1}{i\omega}V
=LI.
\end{align}
従って,
\begin{align}
Z=i\omega L
\end{align}
となる.


直列回路と並列回路

直列回路

合成インピーダンス
\begin{align}
V_i=Z_i I
\end{align}
であるから,
\begin{align}
V=\sum_i V_i =\sum_i Z_i I
\end{align}
となる.よって,合成インピーダンスは
\begin{align}
Z=\sum_i Z_i.
\end{align}


並列回路

合成インピーダンス
\begin{align}
V=Z_i I_i
\end{align}
であるから,
\begin{align}
I=\sum_i I_i=V\left(\sum_i \frac{1}{Z_i}\right)
\end{align}
となる.よって,合成インピーダンスは
\begin{align}
Z&=\frac{1}{\displaystyle\sum_i \frac{1}{Z_i}}.\\
&~\\
\end{align}


参考文献

理論電磁気学


*1:図??において,電荷保存則$\dfrac{\partial \rho}{\partial t}+\boldsymbol{\nabla}\cdot \boldsymbol{j} =0$を考える.この式を体積分することで,求める式が得られる.

*2:コイルを貫く磁束$\Phi$は \begin{align} \Phi &=\int_{\mathrm{S}} \boldsymbol{B}\cdot \,\mathrm{d}\boldsymbol{S} =\int_{\mathrm{S}} \,\mathrm{rot}\,\boldsymbol{A}\cdot \,\mathrm{d}\boldsymbol{S} =\oint_{\mathrm{C}} \boldsymbol{A}\cdot \,\mathrm{d}\boldsymbol{x} \end{align} と表される.ここで,ベクトルポテンシャルは \begin{align} \boldsymbol{A}(\boldsymbol{x}) =\frac{\mu}{4\pi}\int\frac{\boldsymbol{i}}{|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}|}\,\mathrm{d}^3y \end{align} であるが,導線が十分細く$\boldsymbol{i}$が断面について一様であるとみなせるとき(i.e. $|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}|$が断面内で一定),断面方向の積分が \begin{align} \int\frac{\boldsymbol{i}(\boldsymbol{y})}{|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}|}\,\mathrm{d}^3y =\int\,\mathrm{d}y \int_{\mathrm{S(y)}}\frac{\boldsymbol{i}(\boldsymbol{y})}{|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}|}\,\mathrm{d}S \simeq \int\,\mathrm{d}y \frac{1}{|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}|} \int_{\mathrm{S(y)}}\,\boldsymbol{i}(\boldsymbol{y})\,\mathrm{d}S =I\int\frac{\hat{\boldsymbol{\boldsymbol{i}}}(y)}{|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}|}\,\mathrm{d}y \end{align} と実行でき, \begin{align} \boldsymbol{A}(\boldsymbol{x}) =\frac{\mu I}{4\pi}\oint_{\mathrm{C}}\frac{\hat{\boldsymbol{\boldsymbol{i}}}(y)}{|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}|}\,\mathrm{d}y \end{align} となる.よって, \begin{align} \Phi &=LI ,\qquad \left(L:= \frac{\mu}{4\pi} \oint_{\mathrm{C}}\oint_{\mathrm{C}}\frac{\hat{\boldsymbol{i}}(\boldsymbol{y})}{|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}|}\,\mathrm{d}y\cdot\,\mathrm{d}\boldsymbol{x} \right) \end{align} と表すことができる.