Landau symbol (ランダウの記号)

微小量の高次項を表すときに,$o(\cdot)$や$O(\cdot)$といった記号がよくあらわれます.
例えば,統計力学においては$O(N)$といった記号を頻繁に見かけることになります($N$は粒子数).
これは"オーダー"と呼ばれる記号ですが,$o$と$O$は異なる意味を持ちます.

また,漸近展開においては,$\sim$という記号に出くわします.

ここでは,知ってそうで知らないこれらの定義や例についてまとめました.


無限小と無限大

これらの記号は,無限小・無限大と呼ばれる性質を持つ関数の振る舞いを比較するための道具です.

無限小の定義
関数$f$が$a$において無限小であるとは \begin{align} \lim_{x\to a}f(x)=0 \end{align} を満たすことである.

無限大の定義
関数$f$が$a$において正の(負の)無限大であるとは \begin{align} \lim_{x\to a}f(x)=\pm\infty \end{align} を満たすことである.

Landauの記号

$o(\cdot)$や$O(\cdot)$はLandauの記号と呼ばれます.
(※理論物理学教程を書いたLandauとは別人です)

1.$o(\cdot)$

定義
\begin{align} &\;\;f=o(g)\quad(x\rightarrow a)\\ \overset{\mathrm{def}}{\Leftrightarrow} &\;\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)} =0 \end{align}

\begin{align}
x^2=o(x)\quad(x\rightarrow0),\qquad
x=o(1)\quad(x\rightarrow0)
\end{align}


2.$O(\cdot)$

定義
\begin{align} & \;\;f=O(g)\quad(x\rightarrow a)\\ \overset{\mathrm{def}}{\Leftrightarrow}&\; {}^\exists M>0, {}^\exists V=\left\{x\,| \,0<|x-a|<\epsilon \right\} \,\mathrm{s.t.}\, \left|\dfrac{f(x)}{g(x)}\right| < M \quad \forall x\in V \end{align}

つまり,「$a$を除く近傍で,有界となるものが存在する」ことを意味しています.

定義から,以下が成り立つことがわかります:
\begin{align}
&f\sim g\quad(x\rightarrow a)\Rightarrow
f=O(g)\quad(x\rightarrow a),\quad
g=O(f)\quad(x\rightarrow a)\\
&f=o(g)\quad(x\rightarrow a)\Rightarrow
f=O(g)\quad(x\rightarrow a)
\end{align}

有界であれば良いので,$\sin$のような振動する関数でもOKです:
\begin{align}
\sin x=O(1)\quad(x\rightarrow \infty)
\end{align}

3.$\sim$

定義
\begin{align} &\;\;f\sim g\quad(x\rightarrow a)\\ \overset{\mathrm{def}}{\Leftrightarrow}&\; \lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)} =1 \end{align}

$x\rightarrow 0$で$\sin x/x\rightarrow 1$ですから,
\begin{align}
\sin x\sim x\quad(x\rightarrow0).
\end{align}
また,スターリングの公式は
\begin{align}
\Gamma(s+1)\sim\sqrt{2\pi} s^{s+1/2}e^{-s}\qquad(s\rightarrow\infty)
\end{align}
とあらわせます.


漸近展開

定義
$f$を$a$における無限小または無限大であるとする.条件
   1. $f=c_1 g_1+\cdots +c_n g_n +o(g_n)\quad (x\rightarrow a)$
   2. $k=1,...,n-1$に対し,$g_{k+1}=o(g_k)\quad (x\rightarrow a)$
を満たすとき,1. の式を「$f$の$\{g_k\}$による漸近展開」と呼ぶ. (ここで,$c_1 g_1$を$f$の主要部と呼ぶ.)
注意

漸近展開の定義から,
\begin{align}
f\sim c_1 g_1\quad(x\rightarrow a)
\end{align}
が成立します.


参考文献

微分積分学 (サイエンスライブラリ―数学)
解析入門 ?(基礎数学2)