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あまり知られていないこと

【考察】スターリングの公式 (Stirling's approximation/Stirling's formula)

統計力学でよく出てくるStirlingの公式について考えてみましょう.

スターリングの公式 (Stirling's approximation/Stirling's formula)とは?

物理の教科書では
\begin{align}
\log N!=N(\log N-1)+O(\log N)\qquad(N\rightarrow\infty)
\tag{1}\label{eq:st_phys}
\end{align}
と書かれることが多く,数学の教科書では
\begin{align}
\lim_{s\to \infty}\frac{\Gamma(s+1)}{\sqrt{2\pi} s^{s+1/2}e^{-s}}
=1
\tag{2}\label{eq:st_math}
\end{align}
と書かれることが多いです.

式 (\ref{eq:st_phys})の$O(\cdot)$はLandauの記号です (詳しくは記事 "Landauの記号"を参照).

式 (\ref{eq:st_phys})の導出

よく$\log x$を図示して説明されるように,以下の不等式
\begin{align}
\int_1^N\log x\,\mathrm{d}x
\leq\log N!=\sum_{n=1}^N\log n
\leq\int_1^N\log x\,\mathrm{d}x+\log N
\end{align}
が成立します*1.部分積分により
\begin{align}
\int_1^N\log x\,\mathrm{d}x
=N(\log N-1)+1
\end{align}
なので,上の不等式は
\begin{align}
\frac{1}{\log N}
\leq\frac{\log N!-N(\log N-1)}{\log N}
\leq\frac{1}{\log N}+1
\end{align}
と変形できます.よって,$O(\cdot)$の定義 (記事 "Landauの記号"参照) より式 (\ref{eq:st_phys})が成立することが示されました.*2

式 (\ref{eq:st_phys})と式 (\ref{eq:st_math})の関係について

式 (\ref{eq:st_math})は
\begin{align}
\Gamma(s+1)\sim\sqrt{2\pi} s^{s+1/2}e^{-s}\qquad(s\rightarrow\infty)
\end{align}
と表すことができます.もし
\begin{align}
\log \Gamma(s+1)\sim\log \left[\sqrt{2\pi} s^{s+1/2}e^{-s}\right]
\qquad(s\rightarrow\infty)
\end{align}
が成り立てば,$s$が自然数の場合に式 (\ref{eq:st_phys})に帰着しますね.

では,左辺を$f(x)$,右辺を$g(x)$として,この式が成立することを調べてみましょう.
いま,$f(x)\sim g(x)$ですから$\lim \left(f(x)/g(x)\right)=1$が成立します.
また,$\lim|\log g(x)|=\infty$なので,
\begin{align}
\left|\frac{\log f(x)}{\log g(x)}-1\right|
=\left|\frac{\log \left|f(x)/g(x)\right|}{\log g(x)}\right|
\rightarrow 0 \qquad(x\rightarrow\infty).
\end{align}
よって,$\log f(x)\sim \log g(x)$が言えました.


*1:補足:
これは,(図での説明からわかるように) ほとんどRiemann積分の定義から示されます:
区間$I$上でRiemann可積分な関数$f(x)$は \begin{align} \sum_{k} \inf\{f(x)|x\in I_k\} \leq \int_I f(x)\,\mathrm{d}x \leq \sum_{k} \sup\{f(x)|x\in I_k\} \end{align} を満たします($\{I_k\}_k$は$I$の分割).これを$\log x$に適用すれば,最初の不等式より \begin{align} \int_1^N \log x\,\mathrm{d}x \geq \sum_{n=1}^{N-1} \min_{[n,n+1]}\log x =\sum_{n=1}^{N-1}\log n \end{align} が,2つ目の不等式より \begin{align} \int_1^N \log x\,\mathrm{d}x \leq \sum_{n=1}^{N-1} \max_{[n,n+1]}\log x =\sum_{n=1}^{N}\log n \end{align} がわかります.

*2:補足説明: 任意の$M>0$をfixするとき,$N>M$において \begin{align} \left|\frac{\log N!-N(\log N-1)}{\log N}\right| <\frac{1}{\log M}+1 \end{align} が成立する.