黒体輻射 (Black body radiation)

黒体とは

あらゆる電磁波を吸収する物体を黒体 (Black body)と呼びます.

例えば,「空洞」に,空洞に比べ小さな穴を開けたものは黒体とみなせます.
この「空洞」で電磁波の輻射について考察したのがPlanckです.

とはいえ,現実には完全な黒体は存在せず,吸収することのできる電磁波のエネルギーは黒体よりも少ない量になります.
黒体と比較して現実の物体が吸収できるエネルギーの割合は放射率 (emissivity) $\varepsilon$ *1として定義されます.

Planckの輻射公式

温度$T$の熱浴に接した,中が真空の箱(体積$V$)を考えましょう(空洞).
このとき,箱の中は真空なので物質は無いですが,電磁場は存在し得えます.

いま,電磁場の系が熱平衡状態にあるとします(カノニカル分布).
以下では,電磁場が各振動数からなる独立な調和振動子の集まりとみなせる*2ことにもとづいて,エネルギー密度を計算します.

エネルギー期待値(1モード)

振動数$\nu$の電磁場がとり得るエネルギーは
\begin{align}
E_n=n\cdot h\nu\quad(n=0,1,2,...)
\end{align}
です(Planck, Einstein)*3

よって,単一モード電磁場(角振動数$\omega=2\pi\nu$)のエネルギー期待値は
\begin{align}
\langle E\rangle
&=\sum_{n=0}^\infty nh\nu\frac{\exp\left(-nh\nu/k_BT\right)}{\sum_{n=0}^\infty \exp\left(-nh\nu/k_BT\right)}\\
&=\frac{\hbar\omega}{\exp\left(\hbar\omega/k_BT\right)-1}
\end{align}
と計算できます.

状態数

次に,モード数を計算しましょう.
箱が1片の長さ$L$の立方体であるとすれば,境界条件から
\begin{align}
k_i=m_i\cdot \frac{2\pi}{L}\qquad(i=x,y,x,\quad m_i=0,1,2,...)
\end{align}
だけが許されます.よって,$|\boldsymbol{k}|\leq k$にあるモード数は
\begin{align}
2\cdot \biggl[\int_{|\boldsymbol{k}|\leq k} \mathrm{d}^3k\Bigl/(2\pi/L)^3\biggr]
= V\frac{k^3}{3\pi^2}
\end{align}
です(電磁波は横波であり,2つの偏光の自由度を持つことに注意).
状態密度は$k$で微分することで求められ,
\begin{align}
V\frac{k^2}{\pi^2}
=V\frac{\omega^2}{c^2\pi^2}
\end{align}
となります.

エネルギー密度

以上より,エネルギー密度(単位体積・単位角振動数当たりのエネルギー)が
\begin{align}
u(\omega,T)
&=\frac{\omega^2}{c^2\pi^2}
\cdot\frac{\hbar\omega}{\exp\left(\hbar\omega/k_BT\right)-1}\\
&=\frac{\hbar}{c^2\pi^2}\frac{\omega^3}{\exp\left(\hbar\omega/k_BT\right)-1}
\tag{1}
\label{eq:PlanckFormula}
\end{align}
であることがわかりました(Planckの輻射公式).

Stefan-Boltzmannの法則

電磁場の全エネルギーは,全周波数について積分するすることで得られるので
\begin{align}
U(T)
&=V\int_0^\infty u(\omega,T)\,\mathrm{d}\omega\\
&=V \cdot \frac{4}{c}\sigma\color{red}{T^4},
\qquad
\left(\sigma=\frac{\pi^2 k_B^4}{60c^2\hbar^3}\right)
\end{align}
であることがわかります(Stefan-Boltzmannの法則).
$\sigma$はStefan-Boltzmann定数と呼ばれます.

空洞放射

先の議論によって,熱平衡状態にある空洞に小さな穴を開けると,式(\ref{eq:PlanckFormula})だけのエネルギーを放射し続けることがわかりました.

空洞の穴の面$S_i(s_1,t_1)$から面面$S_2(s_2,t_2)$への放射を考えましょう.
面の法線$\boldsymbol{n}_i(s_i,t_i)$と放射方向 ($\hat{\boldsymbol{r}}=\boldsymbol{r}/r$) のなす角度を$\theta_i$とします($i=1,2)$.
このとき,空洞から面$S_2(s_2,t_2)$への単位時間あたりの放射エネルギーは
\begin{align}
&\int_0^\infty\mathrm{d}S_2\int_{S_1} \int_{S_2}
\color{blue}{u(\omega,T)c\hat{\boldsymbol{r}}\cdot\mathrm{d}{\boldsymbol{S_1}}}\frac{\hat{\boldsymbol{r}}\cdot\mathrm{d}{\boldsymbol{S_2}}}{4\pi r^2}\\
&=\frac{\sigma T^4}{\pi}
\int_{S_1} \int_{S_2}
\dfrac{\cos\theta_1 \cos\theta_2}{r^2}
\,\mathrm{d}S_2\mathrm{d}S_1
\end{align}
となります.$u$はあらゆる方向の電磁波に対するエネルギー密度です.従って$\mathrm{d}{{S_2}}$を通過する電磁波のエネルギー密度が $u\hat{\boldsymbol{r}}\cdot\mathrm{d}{\boldsymbol{S_2}}/4\pi r^2$ となることを用いました.*4 *5

形態係数

以上より,面$S_i$から面$S_j$へ伝わる,単位時間あたりのエネルギーが
\begin{align}
Q_{ij}=
\sigma T^4
\int_{S_i} \int_{S_j}
\dfrac{\cos\theta_i \cos\theta_j}{\pi r^2}
\,\mathrm{d}S_j\mathrm{d}S_i
\end{align}
で与えられることがわかりました.

いま,形態係数を
\begin{align}
F_{ij}=
\int_{S_i} \int_{S_j}
\dfrac{\cos\theta_i \cos\theta_j}{\pi r^2}
\,\mathrm{d}S_j\mathrm{d}S_i
\Bigl/
A_i,\qquad
A_i=\int_{S_i}\mathrm{d}S_i
\end{align}
で定義すると
\begin{align}
Q_{ij}
=\sigma T^4 A_iF_{ij}
\end{align}
と表すことができます.

また,形態係数の定義から簡単にわかるように,

形態係数の性質1
\begin{align} A_iF_{ij}=A_jF_{ji} \end{align}

が成立します.

$Q_{ij}$は面$S_i$から面$S_j$へ伝わる,単位時間あたりのエネルギーでした.
よって,すべての面$S_j$に関して総和を取れば$A_i$から発せられる総エネルギーに等しく,
\begin{align}
\sum_jQ_{ij}=\sigma T^4 A_i
\end{align}
が成り立ちます.これより,

形態係数の性質2
\begin{align} \sum_jF_{ij}=1 \end{align}

がわかります.

*1:定義から,$0\leq\varepsilon\leq 1$.

*2:例えば
1. 電磁場を平面波展開し,エネルギーの表式を求める(統計力学 (岩波基礎物理シリーズ 7)).
2. 自由電磁場の量子化で求めたHamiltonianから(量子力学(2) (KS物理専門書)).

*3:Planckが黒体輻射の文脈で考え,Einsteinが光の一般的性質へと拡張した.

*4:面要素$\mathrm{d}S_2$を見込む立体角 \begin{align} \mathrm{d}\Omega =\frac{\boldsymbol{r}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{S_2}}{r^3} \end{align} を用いて書けば ($r=r(s_1,t_1,s_2,t_2)$), \begin{align} &\int_0^\infty\mathrm{d}\omega\int_{S_1} \int_{\Omega} u(\omega,T) \cdot \color{blue}{c\cos\left[\theta_1(s_1,t_1,s_2,t_2)\right]}\frac{\mathrm{d}\Omega}{4\pi} \,\color{blue}{\mathrm{d}S_1}\\ &=\frac{\sigma T^4}{\pi} \int_{S_1} \int_{\Omega} \cos\left[\theta_1(s_1,t_1,s_2,t_2)\right]\,\mathrm{d}\Omega \,\mathrm{d}S_1 \end{align}

*5:$r,\theta_1,\theta_2$が$s_1,t_1,s_2,t_2$の関数であることに注意!