「1=-1」!?・・・複素数の平方根

高校生や大学の複素解析を学んだとき,「平方根」で混乱したことはないでしょうか?

パラドックス?

複素数の平方根を用いた,こんな計算をご存知でしょうか?
\begin{align}
1=\sqrt{1}
=\sqrt{-1\cdot -1}
=\sqrt{-1}\sqrt{-1}
=-1
\tag{1}
\label{eq:20160508_paradox}
\end{align}

・・・なんと,$1=-1$が導かれてしまいました.

種明かし

非負実数の平方根の定義を思い出してみる

非負の実数$a$に対しては

\begin{align}
x^2=a
\tag{2}
\label{eq:20160508_realsqrt}
\end{align}
を満たす$x\color{red}{\geq0}$を$a$の平方根と呼び,$\sqrt{a}$と書く

のでした.

しかし,改めて考えてみると,$x=-\sqrt{a}$も式(\ref{eq:20160508_realsqrt})を満たしますね.
平方根の値を一意に定めるため,我々が勝手ににルールを定めているわけです.

・・・さて,複素数の平方根はこういうルールは設けていたでしょうか?
このあたりに,式(\ref{eq:20160508_paradox})の矛盾を解決する糸口がありそうです.

複素数の平方根の定義

複素数 $\gamma$ の平方根は

$z^2=\gamma$ を満たす複素数 $z$

として定義されます(先ほどの非負整数の平方根とは違って,他に条件はありません).

この平方根が非負整数の平方根$\sqrt{~~}$と同じ保証は無いので,
複素数の平方根を${}^{\mathbb{C}}\!\!\!\!\sqrt{~~}$と書きましょう:$z={}^{\mathbb{C}}\!\!\!\!\sqrt{\gamma}$

さて,$z=x+iy$, $\gamma=\alpha+i\beta$ ($x,y,\alpha,\beta$は実数) とすれば$z^2=\gamma$は
\begin{align}
(x+iy)^2=\alpha+i\beta
\tag{3}
\label{eq:20160508_complexsqrt}
\end{align}
と書くことができます.

この式の実部・虚部を比較し,$x^2$, $y^2$について解くと(非負整数の平方根$\sqrt{~~}$を用いて)
\begin{align}
x^2&=\frac{1}{2}\left(\alpha+\sqrt{\alpha^2+\beta^2}\right)\\
&\tag{4}\label{eq:20160508_xy}\\[0pt]
y^2&=\frac{1}{2}\left(-\alpha+\sqrt{\alpha^2+\beta^2}\right)
\end{align}
となります.よって,この式から $z=x+iy$を求めることができます:

$\beta=0$の場合

① $\alpha\geq0$の場合:$({}^{\mathbb{C}}\!\!\!\!\sqrt{\gamma}=)\,z=\pm\sqrt{\alpha}$
② $\alpha<0$の場合:$({}^{\mathbb{C}}\!\!\!\!\sqrt{\gamma}=)\,z=\pm i\sqrt{-\alpha}$

$\beta\neq 0$の場合


\begin{align}
({}^{\mathbb{C}}\!\!\!\!\sqrt{\gamma}=)\,z
=\pm\left(
\sqrt{\frac{\alpha+\sqrt{\alpha^2+\beta^2}}{2}}
+i\frac{\beta}{|\beta|}\sqrt{\frac{-\alpha+\sqrt{\alpha^2+\beta^2}}{2}}
\right)
\end{align}

以上からわかるように,これら①〜③全ての場合に対して
複素数の平方根${}^{\mathbb{C}}\!\!\!\!\sqrt{~~}$では$\pm$の符号を除くことができないのです.

結論

以上より,式(\ref{eq:20160508_paradox})は

$\sqrt{-1\cdot -1}=\sqrt{-1}\sqrt{-1}$のところで,
等しくないはずの「非負実数の意味での平方根$\sqrt{~~}$」と「複素数の意味での平方根${}^{\mathbb{C}}\!\!\!\!\sqrt{~~}$」を等しいとしてしまった

ところがまずかったわけです.

全て「複素数の意味での平方根」を用いて計算すれば
\begin{align}
\pm 1
={}^{\mathbb{C}}\!\!\!\!\sqrt{1}
={}^{\mathbb{C}}\!\!\!\!\sqrt{-1\cdot -1}
={}^{\mathbb{C}}\!\!\!\!\sqrt{-1}{}^{\mathbb{C}}\!\!\!\!\sqrt{-1}
=(\pm i)(\pm i)
\end{align}
となり,矛盾しません (注:複合同順ではありません).

参考文献

Complex Analysis