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【解法】因数分解の手順

高校に入ってすぐに因数分解の公式に苦しんだ人,結構いるんじゃないでしょうか?

ここでは,因数分解のコツについて紹介します.
マスターできれば,複雑な公式を覚えないで済ますことができます.

手順

因数分解は,以下の手順で行います:

因数分解の手順
Step1 因数定理を使う
  • 多項式$f(x)$が$f(a)=0$を満たすとき,$x-a$を因数に持ちます.
Step2 因数$(x-a)$をくくりだす
Step3 Step1とStep2を繰り返す

では,実際に例を見てみましょう.

例:$f(x)=x^3-1$の因数分解 x^3-1

公式なんて必要ありません.

Step1 因数定理を使う

ひと目みてすぐわかるように,$f(1)=0$ですね.
よって,$x-1$を因数に持ちます.

Step2 因数をくくりだす

慣れていないとここが難しいかもしれません.でも,計算するコツが有るんです.
いま,因数定理から \begin{align} x^3-1=(x-1)\times(\cdots) \end{align} となることがわかっています.ここで,$(\cdots)$の中の最大次数から決めていくのがコツです.
左辺は$x^3$が最大次数の項なので,$(\cdots)$の中の最大次数は \begin{align} x^3-1=(x-1)(x^2+\cdots) \end{align} となるはずです.
右辺を展開すると$x^3-x^2+\cdots$となるので,左辺と一致するためには$x^2$が消えなければなりません.
よって,次の次数は \begin{align} x^3-1=(x-1)(x^2+x+\cdots) \end{align} と決まります.
同様に,右辺は$x^3-x$となるので,$x$が消えるように定数を決めると, \begin{align} x^3-1=(x-1)(x^2+x+1) \end{align} と全ての項を求めることができました.

Step3 Step1とStep2を繰り返す

(実数の範囲では) $x^2+x+1=0$の解はありませんから,因数分解終了です!

(補足:虚根まで考える場合) 
2次方程式の解の公式を使えば,2つの解が求められます.
そのうち一つの解を$\alpha$としましょう:$\alpha^2+\alpha+1=0$

方程式の係数が実数なので,$\alpha$の複素共役$\bar{\alpha}$も解となります.
(実際,両辺の複素共役を取れば,$\bar{\alpha}^2+\bar{\alpha}+1=0$)

以上より,$x^2+x+1=(x-\alpha)(x-\bar{\alpha})$と因数分解できます.

練習問題

$x^3+1$, $x^5\pm1$なども同様です. x^3+1,x^5+1,x^5-1
公式として覚えていたものを導いてみるのも良い計算練習になります.

応用

等比数列の和の公式

初項$a_0$,公比$r$の等比数列$\{a_n\}$($a_n=a_0r^n$)の和は \begin{align} \sum_{k=0}^n a_n =a_0 \frac{1-r^n}{1-r} \end{align} で与えられます.

これは,上で計算した$x^3-1$の因数分解の一般化になっていることがわかりますね!