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因数分解のテクニック

Exercise/計算練習

高校に入ってすぐに因数分解の公式に苦しんだ人,結構いるんじゃないでしょうか?

ここでは,因数分解のコツについて紹介します.
マスターできれば,複雑な公式を覚えないで済ますことも出来るでしょう.

手順

因数分解は,以下の手順で行います:

因数分解の手順
Step1 因数定理を使う
  • 多項式$f(x)$が$f(a)=0$を満たすとき,$x-a$を因数に持ちます.
Step2 因数$(x-a)$をくくりだす
Step3 Step1とStep2を繰り返す

では,実際に例を見てみましょう.

例:$f(x)=x^3-1$の因数分解

公式なんて必要ありません.

Step1 因数定理を使う

ひと目みてすぐわかるように,$f(1)=0$ですね. よって,$x-1$を因数に持ちます.

Step2 因数をくくりだす

慣れていないとここが難しいかもしれません.でも,計算するコツが有るんです. いま,因数定理から \begin{align} x^3-1=(x-1)\times(\cdots) \end{align} となることがわかっています.ここで,$(\cdots)$の中の最大次数から決めていくのがコツです. 左辺は$x^3$が最大次数の項なので,$(\cdots)$の中の最大次数は \begin{align} x^3-1=(x-1)(x^2+\cdots) \end{align} となるはずです.すると,右辺は$x^3-x^2+\cdots$となるので,$x^2$が消えなければなりません. よって,次の次数は \begin{align} x^3-1=(x-1)(x^2+x+\cdots) \end{align} と決まります.同様に,右辺は$x^3-x$となるので,$x$が消えるように定数を決めると, \begin{align} x^3-1=(x-1)(x^2+x+1) \end{align} と全ての項を求めることができました.

Step3 Step1とStep2を繰り返す

(実数の範囲では) $x^2+x+1=0$の解はありませんから,因数分解終了です! (補足:虚根まで考える場合)  2次方程式の解の公式を使えば,2つの解が求められます. そのうち一つの解を$\alpha$としましょう:$\alpha^2+\alpha+1=0$ 方程式の係数が実数なので,$\alpha$の複素共役$\bar{\alpha}$も解となります. (実際,両辺の複素共役を取れば,$\bar{\alpha}^2+\bar{\alpha}+1=0$) 以上より,$x^2+x+1=(x-\alpha)(x-\bar{\alpha})$と因数分解できます.

練習問題

$x^3+1$, $x^5\pm1$なども同様です. 公式として覚えていたものを導いてみるのも良いでしょう.