UNTITLED MEMORANDUM

あまり知られていないこと

条件付き確率を直感的に理解する方法

確率と場合の数の関係

確率とは「"起こりやすさ"の比率」である

つまり,比較対象がないと確率(起こりやすさ)は計算できません.
「・・・が***に比べてどのくらい起こりやすいか?」を計算したものが「確率」なのです.


例えば,サイコロのように,どの目も同じ「起こりやすさ」の場合を考えましょう.
この場合には,「起こりやすさの比」は単に「場合の数の比」になります.

  • サイコロで偶数が出る確率と奇数が出る確率は同じ
  • サイコロで1以外が出る確率は,1が出る確率の5倍大きい

なんてのは,単に「起こりやすさの比 (=場合の数の比)」を求めただけでわかることです.

なぜ全確率は1か

上のように考えれば,「起こりやすさ」の比較はできるわけですが,

  • 何かの確率を求めるために,一々比較対象を用意するのは面倒
  • 比較対象が異なるもの同士は簡単に比べられない

と言った問題があります.

そこで,"基準となる比較対象"が欲しい!と考えるわけです.

この"基準"は,通常「起こりうる全ての場合」にしています.
そのために,全確率が"1"となっているのです.


また,この考え方から,

「確率の比」 = 「起こりやすさの比」 ・・・・(※)

であることがわかります.

これがわかれば,「条件付き確率」も理解することができます.

条件付き確率

上で決めた"基準"「起こりうる全ての場合」が途中で変わってしまうことがあります.
これが「条件付き確率」です.

例えば,

サイコロを振った.その後出目を見ずに,偶数であることを教えてもらった.このとき,2または3の目が出た確率は?

という問題では,「起こり得るすべての場合」が
\begin{align}
\color{blue}{\{1,2,3,4,5,6\}}\rightarrow \color{red}{\{2,4,6\}}
\end{align}
と変化してしまっています.

従って,確率も
\begin{align}
\frac{P(\{2,3\})}{P(\color{blue}{\{1,2,3,4,5,6\}})}\rightarrow \frac{P(\{2,4,6\}\cap \{2,3\})}{P(\color{red}{\{2,4,6\}})}
\end{align}
と変化するのです((※)を思い出しましょう!).


これを一般化すれば,よく見る条件付き確率の式

\begin{align} P(B|A)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)} \end{align}

が得られます.