UNTITLED MEMORANDUM

あまり知られていないこと

【導出】曲面積の求め方〜回転体の表面積も定義から導ける

曲面積の一般的な定義を「理解」しておけば,派生公式を覚えていなくても計算ができます.
具体例を交えながら見ていきましょう.

この記事を読めば,

曲面積の定義式(\ref{eq:surf_area})さえ理解しておけば,派生公式を覚える必要はない
ことがわかります.

曲面積の定義

まずは,曲面積がどのように定義されるか見てみましょう.

パラメータ$\boldsymbol{u}=(u,v)\in\Omega$で定義される曲面
\begin{align}
\begin{pmatrix}
x\\
y\\
z
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
X(u,v)\\
Y(u,v)\\
Z(u,v)
\end{pmatrix}
\end{align}
の曲面積を求めることを考えます.ここで,
\begin{align}
\boldsymbol{X}(\boldsymbol{u})
=
\begin{pmatrix}
X(u,v)\\
Y(u,v)\\
Z(u,v)
\end{pmatrix}
\end{align}
と書くことにします.


曲面積は,微小な平行四辺形の面積
\begin{align}
\frac{\partial \boldsymbol{X}}{\partial u}(\boldsymbol{u})\,\mathrm{d}u
\times
\frac{\partial \boldsymbol{X}}{\partial v}(\boldsymbol{u})\,\mathrm{d}v
\end{align}
を足し上げたものとして定義されます:

曲面積の定義式
\begin{align} \iint_{\Omega} \left| \frac{\partial \boldsymbol{X}}{\partial u}(\boldsymbol{u}) \times \frac{\partial \boldsymbol{X}}{\partial v}(\boldsymbol{u}) \right| \,\mathrm{d}u\,\mathrm{d}v \label{eq:surf_area} \tag{1} \end{align}


ここで,$
\left[
\dfrac{\partial \boldsymbol{X}}{\partial u}
\times
\dfrac{\partial \boldsymbol{X}}{\partial v}
\right]_i
=\epsilon_{ijk}\partial_u X_j \partial_v X_k
$であることを用いれば,縮約公式(詳しくはこちら)を用いて
$
\left|
\dfrac{\partial \boldsymbol{X}}{\partial u}(\boldsymbol{u})
\times
\dfrac{\partial \boldsymbol{X}}{\partial v}(\boldsymbol{u})
\right|
=
\sqrt{
\epsilon_{ijk}\partial_u X_j \partial_v X_k\cdot \epsilon_{ilm}\partial_u X_l \partial_v X_m
}
=
\sqrt{
(\partial_u \boldsymbol{X}\cdot \partial_u \boldsymbol{X})(\partial_v \boldsymbol{X}\cdot \partial_v \boldsymbol{X})
-
(\partial_u \boldsymbol{X}\cdot \partial_v \boldsymbol{X})^2
}
$と表すこともできます.//


さて,以下では曲面積の定義式(\ref{eq:surf_area})から,よく知られた公式を導いてみましょう.

応用例〜曲面積の派生公式

例1:$X=x, Y=y, Z=f(x,y)$の場合

この場合,パラメータは$\boldsymbol{u}=(x,y)$です.
$\dfrac{\partial \boldsymbol{X}}{\partial x}\times\dfrac{\partial \boldsymbol{X}}{\partial y}$を計算すると,
\begin{align}
\begin{pmatrix}
1\\
0\\
\frac{\partial f}{\partial x}
\end{pmatrix}
\times
\begin{pmatrix}
0\\
1\\
\frac{\partial f}{\partial y}
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
-\frac{\partial f}{\partial x}\\
-\frac{\partial f}{\partial y}\\
1
\end{pmatrix}
\end{align}
なので,式(\ref{eq:surf_area})を用いると曲面積は

\begin{align} \iint_{\Omega} \sqrt{ \left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)^2+\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)^2+1 } \,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y \end{align}

となります.

例2:$y=f(x)$の回転体($X=x, Y=f(x)\cos\theta, Z=f(x)\sin\theta$)の場合

f:id:IsThisAPen:20170205160703p:plain
(図はTex(TikZ)で作成:【TikZ】回転体の図 - UNTITLED MEMORANDUM)

$y=f(x)\geq 0$を$x$軸回りに回転させてできた,回転体の表面積を求める問題に相当します.
今回は,$\boldsymbol{u}=(x,\theta)$です.$\dfrac{\partial \boldsymbol{X}}{\partial x}\times\dfrac{\partial \boldsymbol{X}}{\partial \theta}$を計算すると,
\begin{align}
\begin{pmatrix}
1\\
f^\prime(x)\cos\theta\\
f^\prime(x)\sin\theta
\end{pmatrix}
\times
\begin{pmatrix}
0\\
-f(x)\sin\theta\\
f(x)\cos\theta
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
f(x)f^\prime(x)\\
-f(x)\cos\theta\\
-f(x)\sin\theta
\end{pmatrix}
\end{align}
なので,式(\ref{eq:surf_area})から曲面積は
\begin{align}
\int_0^{2\pi}\,\mathrm{d}\theta\,\int
\sqrt{
\left[f(x)f^\prime(x)\right]^2+f(x)^2
}\,\mathrm{d}x.
\end{align}
$\theta$に関する積分を実行すると,おなじみの「回転体の表面積の公式」

回転体の表面積の公式
\begin{align} 2\pi\int f(x) \sqrt{ \left[f^\prime(x)\right]^2+1 } \,\mathrm{d}x \end{align}

が導かれます.