Notes_JP

あまり知られていないこと

【例】収束因子

物理では,広義積分の計算において収束因子を掛けて収束性を良くし,
最後に収束因子の影響を除くような操作を行うことがあります.
数学的には,どのような場合に正当化されるのか見てみましょう.

広義積分のアーベル和

定理
$[a,\infty)$上で区分的連続な関数$f$の広義積分$\displaystyle\int_a^\infty f(x)\,\mathrm{d}x$が存在するとき, \begin{align} \lim_{\epsilon\to+0}\int_a^\infty f(x)e^{-\epsilon x}\,\mathrm{d}x =\int_a^\infty f(x)\,\mathrm{d}x \end{align} が成立する.
左辺を広義積分$\displaystyle\int_a^\infty f(x)\,\mathrm{d}x$のアーベル和という.



この定理より,「広義積分が存在する場合は」収束因子を用いることが「数学的に」正当化できます.

また,$e^{-\epsilon x}$を掛けていることで,アーベル和の方が,元の広義積分よりも収束しやすくなっていることに注意しましょう.
このため,広義積分が存在しなくてもアーベル和は存在する場合があります.

$\sin x$は一定振幅で周期的に振動するため,
\begin{align}
\int_0^\infty \sin x\,\mathrm{d}x
\end{align}
は収束しません.

しかし,収束因子を掛けたアーベル和は
\begin{align}
\lim_{\epsilon\to+0}\int_0^\infty \sin x \cdot e^{-\epsilon x}\,\mathrm{d}x
=\lim_{\epsilon\to+0}\frac{1}{1+\epsilon^2}
=1
\end{align}
と計算することができます.

参考文献

微分積分学 (サイエンスライブラリ―数学)