Notes_JP

あまり知られていないこと

【導出】超簡単!極座標のラプラシアンの導き方

部分積分を用いると,偏微分を地道に計算するよりもはるかに簡単に「極座標のラプラシアン/発散」を導出できます.(実際,"数行"の式変形で済むことをを見てみましょう!)

もちろん,一般の曲線座標でも同じ方法で計算することができます.

まずは,極座標と円筒座標について具体的な計算方法を紹介し,
最後に一般論について議論します.

極座標の勾配・発散・ラプラシアン

極座標の勾配 (Gradient)

\begin{align}
\boldsymbol{\nabla}
= \boldsymbol{e}_r \frac{\partial}{\partial r}
+\boldsymbol{e}_\theta \frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial \theta}
+\boldsymbol{e}_\phi \frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial}{\partial \phi}
\end{align}
なので,

極座標の勾配 (gradient)
\begin{align} \boldsymbol{\nabla}\psi = \boldsymbol{e}_r \frac{\partial \psi}{\partial r} +\boldsymbol{e}_\theta \frac{1}{r}\frac{\partial \psi}{\partial \theta} +\boldsymbol{e}_\phi \frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial \psi}{\partial \phi} \end{align}

極座標の発散 (Divergence)

$\psi$を (遠方で十分早く$0$になるような) 任意関数とします.
ベクトル解析の公式
\begin{align}
\boldsymbol{\nabla}\cdot \left( \psi \boldsymbol{A}\right)
= \boldsymbol{\nabla}\psi \cdot \boldsymbol{A}
+\psi\left( \boldsymbol{\nabla}\cdot\boldsymbol{A}\right)
\end{align}
を用いれば,
\begin{align}
\int \psi\left(\boldsymbol{\nabla}\cdot\boldsymbol{A}\right) \,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z
&=-\int \boldsymbol{\nabla}\psi \cdot \boldsymbol{A} \,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z\\
&=-\int\left[\frac{\partial \psi}{\partial r}A_r
+\frac{1}{r}\frac{\partial \psi}{\partial \theta}A_\theta
+\frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial \phi}{\partial \phi}A_\phi
\right] r^2\sin\theta\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}\phi
\end{align}
となります.
ここで,

1. Gaussの発散定理を用いて,表面項を落とした: \begin{align} \int_V \boldsymbol{\nabla}\cdot \left( \psi \boldsymbol{A}\right)\,\mathrm{d}V =\int_S \psi \boldsymbol{A}\cdot \mathrm{d} \boldsymbol{S} =0 \end{align} 2. $\boldsymbol{A}= A_r \boldsymbol{e}_r +A_\theta \boldsymbol{e}_\theta+A_\phi \boldsymbol{e}_\phi$とした.
3. 極座標に変数変換した:$(x,y,z)\rightarrow (r,\theta,\phi),\quad \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z=r^2\sin\theta \mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}\phi$

さらに

  1. 各項について部分積分を行い,$\psi$から微分を移す
  2. $x,y,z$に変数変換を行う$\displaystyle\left( \,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}\phi=\frac{1}{r^2\sin\theta}\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z\right)$

と,
\begin{align}
\int \psi\left(\boldsymbol{\nabla}\cdot\boldsymbol{A}\right) \,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z
=\int\psi\left[\frac{\partial}{\partial r}\left(r^2\sin\theta A_r\right)
+\frac{\partial}{\partial \theta}\left(r\sin\theta A_\theta\right)
+\frac{\partial}{\partial \phi}\left(r A_\phi\right)
\right]\frac{1}{r^2\sin\theta}\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z.
\end{align}

$\psi$は任意関数なので,以下が成立する:

極座標の発散 (divergence)
\begin{align} \boldsymbol{\nabla}\cdot\boldsymbol{A} = \frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\left(r^2 A_r\right) +\frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial}{\partial \theta}\left(\sin\theta A_\theta\right) +\frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial A_\phi}{\partial \phi} \end{align}


注意:「・・・は任意関数なので,◯◯=◎◎となる」が成り立つ理由

よく使われる論法ですが,スルーされがちです.
$f(x)\neq g(x)$となる点$x$があれば,その近くでのみ任意関数を$\neq0$となるものを取ると,積分を$\neq 0$とできることから従います.

任意関数$\psi$について \begin{align} \int \psi(x) \left[f(x)-g(x)\right]\,\mathrm{d}x=0 \end{align} が成立するとき,$f=g$となる.

なぜなら,もし$f(x)\neq g(x)$となる点$x$があれば,その点の十分近くの領域$V$をとることで
\begin{align}
f(y)-g(y)>0\quad(y\in V)\qquad\text{or}\qquad f(y)-g(y)<0\quad(y\in V)
\end{align}
とできる.一方で,$U(\subset V)$と$\psi$で
\begin{align}
\begin{cases}
\psi(y) \geq 0 &(y\in V)\\
\psi(y) >0 &(y\in U)\\
\psi(y)=0 & (y\notin V)
\end{cases}
\end{align}
となるものが存在する.この$\psi$に対しては
\begin{align}
\int \psi(x) \left[f(x)-g(x)\right]\,\mathrm{d}x\neq0
\end{align}
となり矛盾.

極座標のラプラシアン (Laplacian)

発散の計算で$\boldsymbol{A}$を$\boldsymbol{\nabla}u$に置き換えれば,ラプラシアンを導くことができます.
\begin{align}
&\int \psi \left(\boldsymbol{\nabla}^2 u\right) \,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z\\
&=-\int \boldsymbol{\nabla}\psi \cdot \boldsymbol{\nabla}u \,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z\\
&=-\int\left[\frac{\partial \psi}{\partial r}\frac{\partial u}{\partial r}
+\frac{1}{r^2}\frac{\partial \psi}{\partial \theta}\frac{\partial u}{\partial \theta}
+\frac{1}{r^2\sin^2\theta}\frac{\partial \psi}{\partial \theta}\frac{\partial u}{\partial \phi}
\right] r^2\sin\theta\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}\phi \\
&=\int\psi\left[\frac{\partial}{\partial r}\left(r^2\sin\theta \frac{\partial u}{\partial r} \right)
+\frac{\partial}{\partial \theta}\left(\sin\theta \frac{\partial u}{\partial \theta} \right)
+\frac{\partial}{\partial \phi}\left(\frac{1}{\sin\theta} \frac{\partial u}{\partial \phi} \right)
\right] \frac{1}{r^2\sin\theta} \,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z.
\end{align}

よって,

極座標のラプラシアン (Laplacian)
\begin{align} \boldsymbol{\nabla}^2 u = \frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\left(r^2 \frac{\partial u}{\partial r} \right) +\frac{1}{r^2}\left[\frac{1}{\sin\theta}\frac{\partial}{\partial \theta}\left(\sin\theta \frac{\partial u}{\partial \theta} \right) +\frac{1}{\sin^2\theta}\frac{\partial^2 u}{\partial \phi^2} \right] \end{align}

円筒座標の勾配・発散・ラプラシアン

\begin{align}
\boldsymbol{\nabla}
= \boldsymbol{e}_r \frac{\partial}{\partial r}
+\boldsymbol{e}_\theta \frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial \theta}
+\boldsymbol{e}_z \frac{\partial}{\partial z}
\end{align}
であることを用いれば,極座標の場合と全く同様の方法で導くことができます.

円筒座標の勾配 (Gradient)

円筒座標の勾配 (gradient)
\begin{align} \boldsymbol{\nabla}\psi = \boldsymbol{e}_r \frac{\partial \psi}{\partial r} +\boldsymbol{e}_\theta \frac{1}{r}\frac{\partial \psi}{\partial \theta} +\boldsymbol{e}_\phi \frac{\partial \psi}{\partial z} \end{align}

円筒座標の発散 (Divergence)

円筒座標の発散 (divergence)
\begin{align} \boldsymbol{\nabla}\cdot\boldsymbol{A} = \frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\left(r A_r\right) +\frac{1}{r}\frac{\partial A_\theta}{\partial \theta} +\frac{\partial A_z}{\partial z} \end{align}

円筒座標のラプラシアン (Laplacian)

円筒座標のラプラシアン (Laplacian)
\begin{align} \boldsymbol{\nabla}^2 u = \frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\left(r \frac{\partial u}{\partial r} \right) +\frac{1}{r^2}\frac{\partial^2 u}{\partial \theta^2} +\frac{\partial^2 u}{\partial z^2} \end{align}

【一般論】曲線座標のラプラシアン

最後に,一般の曲線座標に議論を一般化しましょう.

$\left( x^{\prime\mu} \right)$をGalilei座標,$\left( x^\mu \right)$を任意の曲線座標とし,

  • それぞれの計量テンソルを$g^{\prime}_{\mu\nu}$,$g_{\mu\nu}$
  • 共変微分を$\boldsymbol{\nabla}^{\prime}_\mu=\partial^{\prime}_\mu$,$\boldsymbol{\nabla}_\mu$
  • $\left( x^{\prime\mu} \right)$から$\left( x^\mu \right)$への座標変換を行う際のヤコビアンを$J=\det(\partial_\mu x^{\prime\nu})$で表します.

このとき,
\begin{align}
&g^{\prime\mu\nu}=\partial_\rho x^{\prime\mu} \partial_\sigma x^{\prime\nu} g^{\rho\sigma}\\
&\det(g^\prime_{\mu\nu})=1/\det(g^{\prime\mu\nu}),\qquad\det(g_{\mu\nu})=1/\det(g^{\mu\nu})
\end{align}
から,
\begin{align}
J=\sqrt{\left|\det(g_{\mu\nu})/\det(g^\prime_{\rho\sigma})\right|}
\end{align}
であることに注意しましょう.

曲線座標の発散 (Divergence)

計算手法は,上の具体例と同じです.
\begin{align}
\int \psi\left(\boldsymbol{\nabla}_\mu A^\mu \right)\,\mathrm{d}^nx^{\prime}
&=\int \psi\left(\boldsymbol{\nabla}^{\prime}_\mu A^\mu \right)\,\mathrm{d}^nx^{\prime}
=\int \psi \partial^{\prime}_\mu A^\mu \,\mathrm{d}^nx^{\prime}\\
&=-\int \left(\partial^{\prime}_\mu \psi \right) A^\mu \,\mathrm{d}^nx^{\prime}\\
&=-\int \left(\boldsymbol{\nabla}^{\prime}_\mu \psi \right) A^\mu \,\mathrm{d}^nx^{\prime}
=-\int \left(\boldsymbol{\nabla}_\mu \psi \right) A^\mu \,\mathrm{d}^nx^{\prime}\\
&=-\int \left(\boldsymbol{\nabla}_\mu \psi \right) A^\mu J\,\mathrm{d}^nx\\
&=-\int \left(\partial_\mu \psi \right) A^\mu J\,\mathrm{d}^nx\\
&=\int \psi \partial_\mu\left(J A^\mu \right)\,\mathrm{d}^nx\\
&=\int \psi \partial_\mu\left(J A^\mu \right)\,\frac{\mathrm{d}^nx^{\prime}}{J}
\end{align}

従って,

曲線座標の発散 (divergence)
\begin{align} \boldsymbol{\nabla}_\mu A^\mu =\frac{1}{J} \partial_\mu\left(J A^\mu \right)\, \end{align}

曲線座標のラプラシアン (Laplacian)

上の結果で,$A^\mu=\boldsymbol{\nabla}^\mu \phi=\partial^\mu\phi$とすれば

曲線座標のラプラシアン (Laplacian)
\begin{align} \boldsymbol{\nabla}_\mu \boldsymbol{\nabla}^\mu \phi =\frac{1}{J} \partial_\mu\left(J \partial^\mu\phi \right)\, \end{align}

練習問題

これらの公式を用いて,極座標・円筒座標の発散・ラプラシアンを導いてみましょう.