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Mathematics

ベン図でわかる条件付き確率とベイズの定理

ベン図を使えば,条件付き確率・ベイズの定理が簡単に理解できる. ベイズの定理の応用例を紹介. 確率とベン図 条件付き確率とベン図 ベイズの定理 【例】病気の診断 【例】人間の直感とベイズの定理 参考文献/記事 確率とベン図2つの事象A, Bを考えましょ…

【解説】テンソルと行列が混同される理由

「行列の成分」が「2階のテンソル(1階反変1階共変テンソル)の成分」になることが混乱の原因. この性質は「テンソルの商法則」の特別な場合に相当する. テンソルと行列の違いについて悩んだ事はありませんか?テンソルを学ぶ人の多くは テンソルを導入する…

【まとめ】テンソルの変換則〜導出と変換則一覧

基底の変換則から,高階のテンソルの変換則が導かれる. 導出した変換則を一覧として整理した. 以前の記事で, 「線形空間$V$の基底・双対基底の変換則」から,自然に「反変・共変ベクトルの変換則」が導かれること を示しました. この議論を一般化すれば…

【解説】双対空間とブラベクトル,反変・共変ベクトルの座標変換

双対空間は「相対論の共変ベクトル」や「量子力学のブラベクトル」として特に説明なく導入されている. 双対空間を学べば,共変ベクトルの変換則が自然に導かれる. ある線形空間 (ベクトル空間) に対し定義される「双対空間」は,物理の様々な場面で (特に…

【例】役に立つ標準偏差〜偏差値・ボリンジャーバンド・測定

標準偏差の役立つ実用例を紹介. 偏差値・ボリンジャーバンド・測定 Excelによるボリンジャーバンドの描画法. 確率・統計で学ぶ「標準偏差」の定義を知っている人は多いと思います.また,「標準偏差」が分布のバラツキを表していることも良く知られていま…

【Excel】最小二乗法による回帰分析 (近似曲線の求め方)

Excel関数で回帰分析を行う方法の紹介. 係数を求める関数と,回帰曲線上の値を求める関数がある. 標準誤差や決定係数 ($R^2$) を取得することも可能. Excelの関数を使って,最小二乗法による回帰分析を行う方法 (グラフの「近似曲線」を関数で求める方法)…

【導出】等距離変換とLorentz変換

ユークリッド空間における距離を保つ変換が「回転」と「反転」で表されることの証明. ミンコフスキー空間における距離を保つ変換がLorentz変換となることの証明. 距離を保つ変換が「回転」と「反転」で表されることはよく知られています. 但し,これは「…

【定理/反例】極限操作の入れ替え

極限操作(lim,微分,積分)を入れ替えられない例の紹介. 一様収束や微分,積分をグラフで理解しておけば簡単に反例をつくることができる. 絵(グラフ)で考えることが重要です.以下のような"当たり前"のポイントさせ掴んでいれば,反例を考えることは簡単です…

【例】収束因子

数学的に収束因子が正当化される例の紹介. 物理においては,実験との比較によって正当化される. 物理では,広義積分の計算において収束因子を掛けて収束性を良くし,最後に収束因子の影響を除く操作を行うことがあります.この操作が正当化されるのは,実…

【例】選出公理(選択公理,Axiom of choice)の適用例

選出公理の主張と例を紹介. どこで使われているのかわかりにくい,選出公理.その適用例を紹介します. 選出公理 選出公理の適用例 例1:任意の無限集合は, 可算無限集合を部分集合として含む. 参考文献 選出公理 直積 $(A_\lambda)_{\lambda\in\Lambda}$…

【点推定】分布の平均・分散・標準偏差を推定する方法

有限個のサンプルから,分布の平均・分散・標準偏差を推定する方法. 測定に応用できる. ある分布から,有限個のサンプルを取り出して「元の分布」の情報を推定する方法について解説します.これは,何かの「測定」を行う際には避けられない話題です.なぜ…

【導出】曲面積の求め方〜回転体の表面積も定義から導ける

曲面積の一般的な定義を「理解」しておけば,派生公式を覚えていなくても計算ができます. 具体例を交えながら見ていきましょう.この記事を読めば,曲面積の定義式(\ref{eq:surf_area})さえ理解しておけば,派生公式を覚える必要はないことがわかります. …

【解説】『0.999・・・=1』 を理解する

0.999・・・=1という式について解説する. 10進法では同じ数が2通りの方法で表せることがわかる. 0.999・・・=1という式は「正しい式」として教えられますが,納得できている人は多くないのではないでしょうか.実は,10進法の定義に戻ると「同じ数の表示方…

【解説】因数分解のコツ

因数分解の手順を紹介. 方法さえ理解できれば,公式を覚えずに済む. 高校に入ってすぐに因数分解の公式に苦しんだ人,結構いるんじゃないでしょうか? この記事では,因数分解のコツを紹介します.マスターできれば,複雑な公式を覚えずに済ますことができ…

【パラドックス】「1=−1」!?・・・複素数の平方根

複素数の平方根で有名な1=−1となるパラドックスを紹介. 実数の平方根と異なり,符号を一意に決められないことが原因. 高校生や大学の複素解析を学んだとき,「平方根」で混乱したことはないでしょうか? パラドックス? 種明かし 非負実数の平方根の定義…

【導出】超簡単! 回転行列の導き方

回転行列を簡単に導出する方法の紹介. ポイントは「行列は単位ベクトルの変換先を並べたものである」こと. 同じ方法で3次元回転行列を始め,どんな行列も導出できる. 回転行列はベクトルを回転させる.「回転行列」とは,ベクトルに作用させると「回転し…

【導出】10進数から2進数への変換法

10進数から2進数へ変換する方法を解説する. 10進数の各桁を求めるのと同じことをしているのがわかる. 「2進数の各桁を求めること」は,「10進数の各桁を求めるのと同じ操作」に過ぎないのです. 難しいことは何もありません.10進数の各桁をどうやって求め…

【考察】スターリングの公式

スターリングの公式の異なる2つの表式の関係. 統計力学でよく出てくるStirlingの公式について考えてみます. スターリングの公式とは? 式 (\ref{eq:st_phys})の導出 式 (\ref{eq:st_phys})と式 (\ref{eq:st_math})の関係について スターリングの公式とは?…

【例】Landau symbol (ランダウの記号)

微小量の高次項を表すときに,$o(\cdot)$や$O(\cdot)$といった記号がよく現れます(カリグラフィー$\mathcal{O}$が使われることもあります).微積分学の教科書を開けば,至る所で使われているのがわかるでしょう.また,統計力学においては$O(N)$といった記号…

【定理・例】Lebesgue積分論のご利益2・limと積分の順序交換 (優収束定理)

優収束定理(limと積分の順序交換)と応用例. 優収束定理とその適用例を紹介します.微分・積分の順序交換については,以下の記事を参照して下さい: wpqtqpqp.hatenablog.com 優収束定理 例1 参考文献 優収束定理 優収束定理 (Dominated convergence theorem…

【判定法・例】正項級数の収束判定

正項級数の収束を判定する方法と例の紹介. 正項級数というと特殊な感じがするかもしれません.しかし, \begin{align} \left| \sum_n a_n\right|\leq \sum_n |a_n| \end{align} から \begin{align} \underset{\text{正項級数!}}{\underline {\sum_n |a_n|}…

【例】中心極限定理の応用:測定値と標準誤差,コイン投げ

中心極限定理 (Central limit theorem, CLT) の解説. 応用例として測定やコイン投げを紹介. 世の中に正規分布があふれる背景の一つに,中心極限定理の存在が挙げられます. 中心極限定理 【例】測定値と標準誤差 真値$\mu$の推定量について,中心極限定理…

【定理・例】Lebesgue積分論のご利益1・微積分の順序交換

微積分の順序交換に関する定理の紹介. 応用例としてGauss積分について解説する. 微積分の順序交換に関する定理と,応用例を紹介します. 極限記号$\lim$と,積分$\displaystyle\int$の順序交換(優収束定理)については,次の記事を参照して下さい: wpqtq…

【反例】sinx/x:Riemann積分可能でも,Lebesgue積分は不可能な例

「Riemann可積分であり,Lebesgue可積分でない」有名な例. RiemannとLebesgue積分の関係 広義Riemann積分の計算方法 Lebesgue可積分でないこと 注意:広義Riemann積分は,Lebesgue積分を使っても計算できる RiemannとLebesgue積分の関係RiemannとLebesgue積…

【例】チェビシェフの不等式とその応用

チェビシェフの不等式 (Chebyshev’s inequality) の導出と応用例. 標準偏差がバラツキの尺度となることがわかる. チェビシェフの不等式から,「標準偏差がバラツキの尺度として用いられる」理由がわかります. チェビシェフの不等式 主張と導出 Chebyshev…

【導出】ベクトル解析・行列計算の公式〜クラメルの公式も

ベクトル解析の公式と,その導出方法の一覧. 行列計算も統一的に理解できる. ベクトル解析の公式と,その導出方法を一覧にまとめました.力学・電磁気学・流体力学などを学ぶ上で,これらの計算はとても重要です.計算練習をして,公式をすぐに導出できる…

【導出】積分公式 (三角関数・双曲線関数・指数関数・対数関数など)

積分公式の一覧(途中計算あり). 対象:三角関数・双曲線関数・指数関数・対数関数. 基本的な不定積分公式を導出します.以下では$a>0$とし,積分定数は省略します. 三角関数 双曲線関数 指数関数 対数関数 有理関数 無理関数 参考文献 三角関数\begin{ali…

行列の対角化とは基底を上手く取り直すこと

行列の対角化についての解説. 対角化の操作は,行列表示の基底の変換に相当する. 行列表示を学ぶと,対角化が「基底を取り直す」操作であることが理解できます.行列表示については,以下の記事を参考にして下さい: wpqtqpqp.hatenablog.com 対角化とは?…

【導出】行列表示の例:複素数・四元数・Pauli行列

行列表示とは,ベクトル空間の基底を単位ベクトルとみなすこと. 複素数の行列表現・四元数の行列表現・Pauli行列を簡単に導出できることを確かめる. 線形代数や量子力学では「線形写像/演算子を行列表示しなさい」という問題に出会います.この記事では,…

【例】サイコロ1個で考える条件付き確率

サイコロ1個の超極端な例で,条件付き確率の理解を深める. 何事も,理解のコツは「極端な例」を考えることです.例えば, 数学なら,すごく数が小さい場合/大きい場合を考える. 物理なら,物理量が$0$あるいは$\infty$の極限を考える. といったことは常套…

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