Notes_JP

Mathematics-線形代数

【解説】テンソルと行列が混同される理由

「行列の成分」が「2階のテンソル(1階反変1階共変テンソル)の成分」になることが混乱の原因. この性質は「テンソルの商法則」の特別な場合に相当する. テンソルと行列の違いについて悩んだ事はありませんか?テンソルを学ぶ人の多くは テンソルを導入する…

【まとめ】テンソルの変換則〜導出と変換則一覧

基底の変換則から,高階のテンソルの変換則が導かれる. 導出した変換則を一覧として整理した. 以前の記事で, 「線形空間$V$の基底・双対基底の変換則」から,自然に「反変・共変ベクトルの変換則」が導かれること を示しました. この議論を一般化すれば…

【解説】双対空間とブラベクトル,反変・共変ベクトルの座標変換

双対空間は「相対論の共変ベクトル」や「量子力学のブラベクトル」として特に説明なく導入されている. 双対空間を学べば,共変ベクトルの変換則が自然に導かれる. ある線形空間 (ベクトル空間) に対し定義される「双対空間」は,物理の様々な場面で (特に…

【導出】等距離変換とLorentz変換

ユークリッド空間における距離を保つ変換が「回転」と「反転」で表されることの証明. ミンコフスキー空間における距離を保つ変換がLorentz変換となることの証明. 距離を保つ変換が「回転」と「反転」で表されることはよく知られています. 但し,これは「…

【導出】超簡単! 回転行列の導き方

回転行列を簡単に導出する方法の紹介. ポイントは「行列は単位ベクトルの変換先を並べたものである」こと. 同じ方法で3次元回転行列を始め,どんな行列も導出できる. 回転行列はベクトルを回転させる.「回転行列」とは,ベクトルに作用させると「回転し…

【導出】ベクトル解析・行列計算 の公式〜クラメルの公式も

ベクトル解析の公式と,その導出方法を一覧にまとめました.力学・電磁気学・流体力学などを学ぶ上で,これらの計算はとても重要です. 計算練習をして,公式をすぐに導出できるようになりましょう! 前提知識と記法について 記法 ベクトル演算の成分表記 行…

行列の対角化とは基底を上手く取り直すこと

行列表示を学ぶと,対角化が「基底を取り直す」操作であることが理解できます. 行列表示については,以下の記事を参考にして下さい: wpqtqpqp.hatenablog.com 対角化ってどんな操作? 基底を上手く取り直す? ①基底が単位ベクトル$\{e_1,...,e_n\}$の場合 …

【例】行列表示:複素数・四元数・Pauli行列

行列表示とは,ベクトル空間の基底を単位ベクトルとみなすこと. 複素数の行列表現・四元数の行列表現・Pauli行列を簡単に導出できることを確かめる. 線形代数や量子力学では「線形写像/演算子を行列表示しなさい」という問題に出会います.この記事では,…

プライバシーポリシー