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Mathematics-解析学

【定理/反例】極限操作の入れ替え

極限操作(lim,微分,積分)を入れ替えられない例の紹介. 一様収束や微分,積分をグラフで理解しておけば簡単に反例をつくることができる. 絵(グラフ)で考えることが重要です.以下のような"当たり前"のポイントさせ掴んでいれば,反例を考えることは簡単です…

【例】収束因子

物理では,広義積分の計算において収束因子を掛けて収束性を良くし,最後に収束因子の影響を除く操作を行うことがあります. 数学的には,どのような場合に正当化されるのか見てみましょう. 広義積分のアーベル和 定理 $[a,\infty)$上で区分的連続な関数$f$…

【導出】曲面積の求め方〜回転体の表面積も定義から導ける

曲面積の一般的な定義を「理解」しておけば,派生公式を覚えていなくても計算ができます. 具体例を交えながら見ていきましょう.この記事を読めば,曲面積の定義式(\ref{eq:surf_area})さえ理解しておけば,派生公式を覚える必要はないことがわかります. …

【解説】『0.999・・・=1』 を理解する

0.999・・・=1という式について解説する. 10進法では同じ数が2通りの方法で表せることがわかる. 0.999・・・=1という式は「正しい式」として教えられますが,納得できている人は多くないのではないでしょうか.実は,10進法の定義に戻ると「同じ数の表示方…

【考察】スターリングの公式 (Stirling's approximation/Stirling's formula)

統計力学でよく出てくるStirlingの公式について考えてみます. スターリングの公式 (Stirling's approximation/Stirling's formula)とは? 式 (\ref{eq:st_phys})の導出 式 (\ref{eq:st_phys})と式 (\ref{eq:st_math})の関係について スターリングの公式 (St…

【例】Landau symbol (ランダウの記号)

微小量の高次項を表すときに,$o(\cdot)$や$O(\cdot)$といった記号がよく現れます(カリグラフィー$\mathcal{O}$が使われることもあります).微積分学の教科書を開けば,至る所で使われているのがわかるでしょう.また,統計力学においては$O(N)$といった記号…

【定理・例】Lebesgue積分論のご利益2・limと積分の順序交換 (優収束定理)

優収束定理とその適用例を紹介します. 微分・積分の順序交換については,以下の記事を参照して下さい: wpqtqpqp.hatenablog.com 優収束定理 (Dominated convergence theorem) 例1 参考文献 優収束定理 (Dominated convergence theorem) 優収束定理 (Domina…

【判定法・例】正項級数の収束判定

正項級数の収束を判定する方法と例の紹介. この記事では,正項級数の収束判定に関する事項をまとめます.正項級数というと特殊な感じがしますね.しかし, \begin{align} \left| \sum_n a_n\right|\leq \sum_n |a_n| \end{align} から \begin{align} \under…

【定理・例】Lebesgue積分論のご利益1・微積分の順序交換

微積分の順序交換に関する定理の紹介. 応用例としてGauss積分について解説する. 微積分の順序交換に関する定理と,応用例を紹介します. 極限記号$\lim$と,積分$\displaystyle\int$の順序交換(優収束定理)については,次の記事を参照して下さい: wpqtq…

【反例】sinx/x:Riemann積分可能でも,Lebesgue積分は不可能な例

「Riemann可積分であり,Lebesgue可積分でない」有名な例について解説します. RiemannとLebesgue積分の関係 広義Riemann積分の計算方法 Lebesgue可積分でないこと 注意点:Lebesgue積分で広義Riemann積分を計算することは可能 RiemannとLebesgue積分の関係 …

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