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Python(Matplotlib)で2軸グラフ(折れ線グラフ+棒グラフ)を作成

Matplotlibで「折れ線グラフ」と「棒グラフ」の2軸グラフを作成した. Excelで作成したグラフと同じものを「簡単に」作成することができた. pandasでは階差や移動和などを求める関数が用意されている. 以前の記事では,Pythonを用いて複数のExcelファイル…

【暗記ツール】復習のタイミングを自動化して楽に「覚える」〜電子単語帳Anki

受験生を始め,「物事をどうやって覚えるか」という問題に直面する人は多いはずです.ここでは,楽に「暗記」をするためのツール・方法を紹介します.上手く使えば,本の内容を丸ごと暗記することも可能です. 暗記が辛い理由 楽に「暗記」する方法:「電子…

【定理/反例】極限操作の入れ替え

極限操作(lim,微分,積分)を入れ替えられない例の紹介. 一様収束や微分,積分をグラフで理解しておけば簡単に反例をつくることができる. 絵(グラフ)で考えることが重要です.以下のような"当たり前"のポイントさせ掴んでいれば,反例を考えることは簡単です…

【例】収束因子

物理では,広義積分の計算において収束因子を掛けて収束性を良くし,最後に収束因子の影響を除く操作を行うことがあります. 数学的には,どのような場合に正当化されるのか見てみましょう. 広義積分のアーベル和 定理 $[a,\infty)$上で区分的連続な関数$f$…

【例】選出公理(選択公理,Axiom of choice)の適用例

どこで使われているのかわかりにくい,選出公理. その適用例を紹介します. 選出公理 選出公理の適用例 例1:任意の無限集合は, 可算無限集合を部分集合として含む. 証明 参考文献 選出公理 直積 $(A_\lambda)_{\lambda\in\Lambda}$を集合族とする.このと…

【点推定】無作為標本から,分布の平均・分散・標準偏差を推定する方法

ある分布から,有限個のサンプルを取り出して「元の分布」の情報を推定する方法について解説します. これは,何かの「測定」を行う際には避けられない話題です. なぜなら,「測定」は『「測定値を確率変数とする分布」からの無作為抽出』とみなせるからで…

【まとめ】黒体輻射/熱放射に関する基礎知識

Planckの輻射公式・Stefan-Boltzmannの法則・形態係数の導出 黒体輻射(Black body radiation)についての理論を整理します. 機会があれば,場の理論的なアプローチも書きたいと思っています. 黒体とは Planckの輻射公式 エネルギー期待値(1モード) 状態数…

【例】Landau symbol (ランダウの記号)

微小量の高次項を表すときに,$o(\cdot)$や$O(\cdot)$といった記号がよく現れます(カリグラフィー$\mathcal{O}$が使われることもあります).微積分学の教科書を開けば,至る所で使われているのがわかるでしょう.また,統計力学においては$O(N)$といった記号…

【まとめ】電気回路を「Maxwell方程式」で理解する

高校で習う程度の回路の知識が,電磁気学の理論 (Maxwell方程式)と回路がどうつながっているの? という疑問を解消する内容にしていく予定です. Kirchhoffの法則 インピーダンス 直列回路と並列回路 直列回路 並列回路 参考文献 Kirchhoffの法則 第一法則 …

【定理・例】Lebesgue積分論のご利益2・limと積分の順序交換 (優収束定理)

優収束定理とその適用例を紹介します. 微分・積分の順序交換については,以下の記事を参照して下さい: wpqtqpqp.hatenablog.com 優収束定理 (Dominated convergence theorem) 例1 参考文献 優収束定理 (Dominated convergence theorem) 優収束定理 (Domina…

【判定法・例】正項級数の収束判定

正項級数の収束を判定する方法と例の紹介. この記事では,正項級数の収束判定に関する事項をまとめます.正項級数というと特殊な感じがしますね.しかし, \begin{align} \left| \sum_n a_n\right|\leq \sum_n |a_n| \end{align} から \begin{align} \under…

【例】中心極限定理の応用:測定値と標準誤差,コイン投げ

世の中に正規分布があふれる背景の一つに,中心極限定理が成り立つことが挙げられます. 中心極限定理 (Central limit theorem, CLT) 応用例 測定値と標準誤差 真値$\mu$の推定量について,中心極限定理から言えること 標準誤差 標準誤差の推定 Gaussの誤差…

【定理・例】Lebesgue積分論のご利益1・微積分の順序交換

微積分の順序交換に関する定理の紹介. 応用例としてGauss積分について解説する. 微積分の順序交換に関する定理と,応用例を紹介します. 極限記号$\lim$と,積分$\displaystyle\int$の順序交換(優収束定理)については,次の記事を参照して下さい: wpqtq…

【反例】sinx/x:Riemann積分可能でも,Lebesgue積分は不可能な例

「Riemann可積分であり,Lebesgue可積分でない」有名な例について解説します. RiemannとLebesgue積分の関係 広義Riemann積分の計算方法 Lebesgue可積分でないこと 注意点:Lebesgue積分で広義Riemann積分を計算することは可能 RiemannとLebesgue積分の関係 …

【例】Chebyshev’s inequality (チェビシェフの不等式) とその応用例

Chebyshevの不等式から,「標準偏差がバラツキの尺度として用いられる」理由がわかります. Chebyshevの不等式 Chebyshevの不等式の意味 導出 応用例 コイン投げ 参考文献 Chebyshevの不等式 期待値が$\mu$,分散が$\sigma^2$の確率変数$X$と任意の$k>0$に対…

【導出】積分公式 (三角関数,双曲線関数,指数関数,対数関数など)

基本的な不定積分公式を導出します.以下では$a>0$とし,積分定数は省略します. 三角関数 (sin, cos, tan, cot=1/tan, sec=1/cos, cosec=1/sin) 双曲線関数 (sinh, cosh) 指数関数 対数関数 有理関数 (1/1+x^2, 1/x^2+a^2, 1/x^2-a^2) 無理関数 (1/√1-x^2, …

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