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Physics-公式

【まとめ】テンソルの変換則〜導出と変換則一覧

基底の変換則から,高階のテンソルの変換則が導かれる. 導出した変換則を一覧として整理した. 以前の記事で, 「線形空間$V$の基底・双対基底の変換則」から,自然に「反変・共変ベクトルの変換則」が導かれること を示しました. この議論を一般化すれば…

【解説】双対空間とブラベクトル,反変・共変ベクトルの座標変換

双対空間は「相対論の共変ベクトル」や「量子力学のブラベクトル」として特に説明なく導入されている. 双対空間を学べば,共変ベクトルの変換則が自然に導かれる. ある線形空間 (ベクトル空間) に対し定義される「双対空間」は,物理の様々な場面で (特に…

【導出】超簡単!極座標のラプラシアンの導き方

ラプラシアン・発散(ダイバージェンス)を数行で計算する方法を紹介. 3次元極座標についても簡単に計算することができる. 一般の曲線座標 (曲がった空間) についても一般化することができる. 数行の計算で 極座標 (球座標) のラプラシアン 極座標の発散 (D…

【導出】等距離変換とLorentz変換

ユークリッド空間における距離を保つ変換が「回転」と「反転」で表されることの証明. ミンコフスキー空間における距離を保つ変換がLorentz変換となることの証明. 距離を保つ変換が「回転」と「反転」で表されることはよく知られています. 但し,これは「…

【導出】曲面積の求め方〜回転体の表面積も定義から導ける

曲面積の一般的な定義を「理解」しておけば,派生公式を覚えていなくても計算ができます. 具体例を交えながら見ていきましょう.この記事を読めば,曲面積の定義式(\ref{eq:surf_area})さえ理解しておけば,派生公式を覚える必要はないことがわかります. …

【まとめ】黒体輻射/熱放射に関する基礎知識

Planckの輻射公式・Stefan-Boltzmannの法則・形態係数の導出 黒体輻射(Black body radiation)についての理論を整理します. 機会があれば,場の理論的なアプローチも書きたいと思っています. 黒体とは Planckの輻射公式 エネルギー期待値(1モード) 状態数…

【考察】スターリングの公式 (Stirling's approximation/Stirling's formula)

統計力学でよく出てくるStirlingの公式について考えてみます. スターリングの公式 (Stirling's approximation/Stirling's formula)とは? 式 (\ref{eq:st_phys})の導出 式 (\ref{eq:st_phys})と式 (\ref{eq:st_math})の関係について スターリングの公式 (St…

【導出】ベクトル解析・行列計算 の公式〜クラメルの公式も

ベクトル解析の公式と,その導出方法を一覧にまとめました.力学・電磁気学・流体力学などを学ぶ上で,これらの計算はとても重要です. 計算練習をして,公式をすぐに導出できるようになりましょう! 前提知識と記法について 記法 ベクトル演算の成分表記 行…

【導出】完全反対称テンソル (Levi-Civita 記号) の縮約公式

「完全反対称テンソル (レビ・チビタ記号) の縮約公式」を簡単に導出する方法. この公式は,ベクトル解析の計算で欠かすことができない. 慣れれば暗算で計算できるようになる. ベクトル解析の重要な公式に,『完全反対称テンソル (レビ・チビタ記号) の縮…

【例】行列表示:複素数・四元数・Pauli行列

行列表示とは,ベクトル空間の基底を単位ベクトルとみなすこと. 複素数の行列表現・四元数の行列表現・Pauli行列を簡単に導出できることを確かめる. 線形代数や量子力学では「線形写像/演算子を行列表示しなさい」という問題に出会います.この記事では,…

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