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【まとめ】電気回路を「Maxwell方程式」で理解する

高校で習う程度の回路の知識が,電磁気学の理論 (Maxwell方程式)と回路がどうつながっているの?
という疑問を解消する内容にしていく予定です.

Kirchhoffの法則

第一法則
回路の任意の結合点において \begin{align} \sum_k I_k =0 \end{align} が成立する.

第二法則
回路における任意の閉経路において \begin{align} \sum_k R_k I_k =\sum_l E_l \end{align} が成立する.

インピーダンス

交流
\begin{align}
V=V_0 e^{i(\omega t+\delta)}
\end{align}
を考える.
\begin{align}
V=ZI
\end{align}
と表せるとき,$Z$をインピーダンスと呼ぶ.

インピーダンス 理由
抵抗 $Z=R$ Ohmの法則:$V=RI$から従う.
コンデンサー
(静電容量$C$)
$Z=\dfrac{1}{i\omega C}$ 静電容量$C$の定義$Q=CV$と,$I=\dfrac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}t}$(※1)から,
$I=i\omega C V$.
コイル
(自己誘導係数$L$)
$Z=i\omega L$ 起電力は$V=\dfrac{\mathrm{d}\Phi}{\mathrm{d}t}=L\dfrac{\mathrm{d}I}{\mathrm{d}t}$である(※2)から,
両辺を時間積分して$\dfrac{1}{i\omega}V=LI$.

※1

結合部分(図を追加予定)において,電荷保存則$\dfrac{\partial \rho}{\partial t}+\boldsymbol{\nabla}\cdot \boldsymbol{j} =0$を考える.この式を体積分することで,求める式が得られる.

※2

コイルを貫く磁束$\Phi$は
\begin{align}
\Phi
&=\int_{\mathrm{S}} \boldsymbol{B}\cdot \,\mathrm{d}\boldsymbol{S}
=\int_{\mathrm{S}} \,\mathrm{rot}\,\boldsymbol{A}\cdot \,\mathrm{d}\boldsymbol{S}
=\oint_{\mathrm{C}} \boldsymbol{A}\cdot \,\mathrm{d}\boldsymbol{x}
\end{align}
と表される.ここで,ベクトルポテンシャルは
\begin{align}
\boldsymbol{A}(\boldsymbol{x})
=\frac{\mu}{4\pi}\int\frac{\boldsymbol{i}}{|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}|}\,\mathrm{d}^3y
\end{align}
であるが,導線が十分細く$\boldsymbol{i}$が断面について一様であるとみなせるとき(i.e. $|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}|$が断面内で一定),断面方向の積分が
\begin{align}
\int\frac{\boldsymbol{i}(\boldsymbol{y})}{|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}|}\,\mathrm{d}^3y
=\int\,\mathrm{d}y
\int_{\mathrm{S(y)}}\frac{\boldsymbol{i}(\boldsymbol{y})}{|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}|}\,\mathrm{d}S
\simeq \int\,\mathrm{d}y \frac{1}{|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}|}
\int_{\mathrm{S(y)}}\,\boldsymbol{i}(\boldsymbol{y})\,\mathrm{d}S
=I\int\frac{\hat{\boldsymbol{\boldsymbol{i}}}(y)}{|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}|}\,\mathrm{d}y
\end{align}
と実行でき,
\begin{align}
\boldsymbol{A}(\boldsymbol{x})
=\frac{\mu I}{4\pi}\oint_{\mathrm{C}}\frac{\hat{\boldsymbol{\boldsymbol{i}}}(y)}{|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}|}\,\mathrm{d}y
\end{align}
となる.よって,
\begin{align}
\Phi
&=LI
,\qquad \left(L:= \frac{\mu}{4\pi} \oint_{\mathrm{C}}\oint_{\mathrm{C}}\frac{\hat{\boldsymbol{i}}(\boldsymbol{y})}{|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}|}\,\mathrm{d}y\cdot\,\mathrm{d}\boldsymbol{x} \right)
\end{align}
と表すことができる.

直列回路と並列回路

直列回路

合成インピーダンス
\begin{align}
V_i=Z_i I
\end{align}
であるから,
\begin{align}
V=\sum_i V_i =\sum_i Z_i I
\end{align}
となる.よって,合成インピーダンスは
\begin{align}
Z=\sum_i Z_i.
\end{align}

並列回路

合成インピーダンス
\begin{align}
V=Z_i I_i
\end{align}
であるから,
\begin{align}
I=\sum_i I_i=V\left(\sum_i \frac{1}{Z_i}\right)
\end{align}
となる.よって,合成インピーダンスは
\begin{align}
Z&=\frac{1}{\displaystyle\sum_i \frac{1}{Z_i}}.\\
&~\\
\end{align}

参考文献

理論電磁気学

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