POINT
- 数行でラプラシアンやdivを計算できる方法（曲線座標）．
- 合成関数の微分（連鎖率・チェーンルール）なしで計算できる．
- より一般の曲線座標（曲がった空間）でも同じ方法が使える．
ちまちま偏微分の計算をするのではなく，積分計算に置き換えてしまうことがポイントです．
【前提知識】
- ヤコビアンの計算方法（多変数の積分の変数変換）．
- ガウスの発散定理．
- 簡単なテンソルの計算
まずは，極座標，円筒座標系で具体的に計算した関連記事[A]の内容を理解すると理解が早いでしょう（テンソル演算の知識は不要です）．この記事では，関連記事[A]の一般化を行います．
【関連記事】
[A] ラプラシアン（極座標・円筒座標）の計算はヤコビアンを使うと簡単 - Notes_JP
[B]「テンソル記法」から「ベクトル解析の記法」への変換方法 - Notes_JP
微分演算子と変数変換
まずは，「曲線座標のラプラシアン」の定義を整理しましょう．以下では，$\boldsymbol{x}=(x,y,z)$をデカルト座標，$\boldsymbol{x}^\prime=(x^\prime,y^\prime,z^\prime)$を任意の曲線座標系とします．
このとき，曲線座標のラプラシアンとは以下で定義されます：
曲線座標のラプラシアン
デカルト座標$\boldsymbol{x}=(x,y,z)$で
\begin{aligned}
\Delta u(\boldsymbol{x})
=\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}(\boldsymbol{x}) + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2}(\boldsymbol{x}) + \frac{\partial^2 u}{\partial z^2}(\boldsymbol{x})
\end{aligned}
で定義される微分演算子$\Delta$を「ラプラシアン」と呼びます．このとき，\Delta u(\boldsymbol{x})
=\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}(\boldsymbol{x}) + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2}(\boldsymbol{x}) + \frac{\partial^2 u}{\partial z^2}(\boldsymbol{x})
\end{aligned}
\begin{aligned}
\Delta u(\boldsymbol{x})
&=\Delta^{\prime} u \bigl(\boldsymbol{x}(\boldsymbol{x}^{\prime}) \bigr) \\
&=\Delta^{\prime} u^{\prime} (\boldsymbol{x}^{\prime} )
\end{aligned}
を満たす（変数$\boldsymbol{x}^{\prime}$だけで表される演算子）$\Delta^\prime$を「曲線座標$(x^{\prime}, y^{\prime}, z^{\prime})$のラプラシアン」と呼びます．\Delta u(\boldsymbol{x})
&=\Delta^{\prime} u \bigl(\boldsymbol{x}(\boldsymbol{x}^{\prime}) \bigr) \\
&=\Delta^{\prime} u^{\prime} (\boldsymbol{x}^{\prime} )
\end{aligned}
他の微分演算子（たとえば，$\mathrm{grad\,}$，$\mathrm{div\,}$，$\mathrm{rot\,}$）についても同様に定義されます．以下では，曲線座標の微分演算子を$\mathrm{grad\,}^{\prime}$，$\mathrm{div\,}^{\prime}$，$\mathrm{rot\,}^{\prime}$，$\Delta^{\prime}$のように「プライム」をつけて表すことにします．定義から
\begin{aligned}
\mathrm{grad\,} \psi (\boldsymbol{x})
&= \mathrm{grad\,}^{\prime} \psi \bigl(\boldsymbol{x}(\boldsymbol{x}^{\prime}) \bigr) \\
&= \mathrm{grad\,}^{\prime} \psi^{\prime} (\boldsymbol{x}^{\prime} ) \\
\mathrm{div\,}\boldsymbol{A}(\boldsymbol{x})
&= \mathrm{div\,}^{\prime} \boldsymbol{A} \bigl(\boldsymbol{x}(\boldsymbol{x}^{\prime}) \bigr) \\
&= \mathrm{div\,}^{\prime}\boldsymbol{A}^{\prime} (\boldsymbol{x}^{\prime} ) \\
\mathrm{rot\,} \boldsymbol{A}(\boldsymbol{x})
&= \mathrm{rot\,}^{\prime} \boldsymbol{A} \bigl(\boldsymbol{x}(\boldsymbol{x}^{\prime}) \bigr) \\
&= \mathrm{rot\,}^{\prime} \boldsymbol{A}^{\prime} (\boldsymbol{x}^{\prime} ) \\
\underset{=\Delta}{ \underline{\mathrm{div\,} \mathrm{grad\,}} } \psi (\boldsymbol{x})
&= \underset{=\Delta^{\prime}}{ \underline{\mathrm{div\,}^{\prime} \mathrm{grad\,}^{\prime}} } \psi \bigl(\boldsymbol{x}(\boldsymbol{x}^{\prime}) \bigr)\\
&= \Delta^{\prime} \psi^{\prime} ( \boldsymbol{x}^{\prime} )
\end{aligned}
です．このため，通常，曲線座標の微分演算子はプライムをつけないで同じ記号で表します．以下では，微分演算子に使っている変数を明示するために，変数$\boldsymbol{x}^{\prime}$だけで表される演算子にはプライムをつけることにします．\mathrm{grad\,} \psi (\boldsymbol{x})
&= \mathrm{grad\,}^{\prime} \psi \bigl(\boldsymbol{x}(\boldsymbol{x}^{\prime}) \bigr) \\
&= \mathrm{grad\,}^{\prime} \psi^{\prime} (\boldsymbol{x}^{\prime} ) \\
\mathrm{div\,}\boldsymbol{A}(\boldsymbol{x})
&= \mathrm{div\,}^{\prime} \boldsymbol{A} \bigl(\boldsymbol{x}(\boldsymbol{x}^{\prime}) \bigr) \\
&= \mathrm{div\,}^{\prime}\boldsymbol{A}^{\prime} (\boldsymbol{x}^{\prime} ) \\
\mathrm{rot\,} \boldsymbol{A}(\boldsymbol{x})
&= \mathrm{rot\,}^{\prime} \boldsymbol{A} \bigl(\boldsymbol{x}(\boldsymbol{x}^{\prime}) \bigr) \\
&= \mathrm{rot\,}^{\prime} \boldsymbol{A}^{\prime} (\boldsymbol{x}^{\prime} ) \\
\underset{=\Delta}{ \underline{\mathrm{div\,} \mathrm{grad\,}} } \psi (\boldsymbol{x})
&= \underset{=\Delta^{\prime}}{ \underline{\mathrm{div\,}^{\prime} \mathrm{grad\,}^{\prime}} } \psi \bigl(\boldsymbol{x}(\boldsymbol{x}^{\prime}) \bigr)\\
&= \Delta^{\prime} \psi^{\prime} ( \boldsymbol{x}^{\prime} )
\end{aligned}
曲線座標
この記事では，- 曲線座標系のラプラシアンを導出（ヤコビアンを含んだ形）
- 極座標・円筒座標に適用（上の表式のヤコビアンを計算し，代入）
以下では，次のように記号を定めます：
- $\displaystyle J=\Biggl| \det{ \biggl(\frac{\partial x_i}{\partial x^\prime_j}\biggr)} \Biggr|$：直交直線座標系（デカルト座標系）$\boldsymbol{x}=(x,y,z)$から曲線座標系$\boldsymbol{x}^\prime=(x^\prime,y^\prime,z^\prime)$への変換におけるヤコビアン．つまり，積分の変数変換が\begin{aligned}で表されるとします．
&\int f(\boldsymbol{x})\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z\\
&= \int f \bigl(\boldsymbol{x}(\boldsymbol{x}^\prime)\bigr) J \,\mathrm{d}x^\prime\,\mathrm{d}y^\prime\,\mathrm{d}z^\prime
\end{aligned}
- $\psi(x,y,z)$：ある（有限な）領域の外では$0$になるような任意関数．
それでは，曲線座標における
- ベクトル場$\boldsymbol{A}^\prime(\boldsymbol{x}^\prime)$の発散：$\mathrm{div\,}^{\prime}\boldsymbol{A}^{\prime}(\boldsymbol{x}^{\prime})$
- スカラー場$u^\prime(\boldsymbol{x}^\prime)$のラプラシアン：$\Delta^{\prime} u^{\prime}(\boldsymbol{x}^{\prime})$
を計算してみましょう．
仮定から，十分大きな曲面$S$を取れば，$S$の上で$\psi=0$となるようできます．このような曲面$S$に対してGaussの発散定理を用いれば
\begin{aligned}
\int_V \boldsymbol{\nabla}\cdot ( \psi \boldsymbol{A} )\,\mathrm{d}V
&=\int_S \psi \boldsymbol{A}\cdot \mathrm{d} \boldsymbol{S} \\
&=0
\end{aligned}
が成り立ちます．この式とベクトル解析の公式\int_V \boldsymbol{\nabla}\cdot ( \psi \boldsymbol{A} )\,\mathrm{d}V
&=\int_S \psi \boldsymbol{A}\cdot \mathrm{d} \boldsymbol{S} \\
&=0
\end{aligned}
\begin{aligned}
\boldsymbol{\nabla}\cdot ( \psi \boldsymbol{A} )
= \boldsymbol{\nabla}\psi \cdot \boldsymbol{A}
+\psi ( \boldsymbol{\nabla}\cdot\boldsymbol{A} )
\end{aligned}
を用いることにより，\boldsymbol{\nabla}\cdot ( \psi \boldsymbol{A} )
= \boldsymbol{\nabla}\psi \cdot \boldsymbol{A}
+\psi ( \boldsymbol{\nabla}\cdot\boldsymbol{A} )
\end{aligned}
\begin{aligned}
&\int \psi (\textcolor{red}{ \mathrm{div\,}^\prime \boldsymbol{A}^\prime } ) \,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z
=\int \psi (\mathrm{div\,} \boldsymbol{A} ) \,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z \\
&=\int \psi (\boldsymbol{\nabla}\cdot\boldsymbol{A}) \,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z\\
&=-\int \underset{=(\partial_\mu \psi) A^\mu}{\underline{\boldsymbol{\nabla}\psi \cdot \boldsymbol{A} }}
\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z
+\underset{=0}{\underline{\int \boldsymbol{\nabla}\cdot ( \psi \boldsymbol{A}) \,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z }}\\
&=-\int (\partial^\prime_\mu \psi^\prime )A^{\prime\mu} J
\,\mathrm{d}x^{\prime}\,\mathrm{d}y^{\prime}\,\mathrm{d}z^{\prime}
\end{aligned}
&\int \psi (\textcolor{red}{ \mathrm{div\,}^\prime \boldsymbol{A}^\prime } ) \,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z
=\int \psi (\mathrm{div\,} \boldsymbol{A} ) \,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z \\
&=\int \psi (\boldsymbol{\nabla}\cdot\boldsymbol{A}) \,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z\\
&=-\int \underset{=(\partial_\mu \psi) A^\mu}{\underline{\boldsymbol{\nabla}\psi \cdot \boldsymbol{A} }}
\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z
+\underset{=0}{\underline{\int \boldsymbol{\nabla}\cdot ( \psi \boldsymbol{A}) \,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z }}\\
&=-\int (\partial^\prime_\mu \psi^\prime )A^{\prime\mu} J
\,\mathrm{d}x^{\prime}\,\mathrm{d}y^{\prime}\,\mathrm{d}z^{\prime}
\end{aligned}
\begin{aligned}
&=-\Biggl[\overbrace{\int \partial^\prime_\mu (\psi^\prime J A^{\prime\mu} )
\,\mathrm{d}x^{\prime}\,\mathrm{d}y^{\prime}\,\mathrm{d}z^{\prime} }^{=0\,\text{(*1)}} \\
&\qquad\qquad\qquad
-\int \psi^\prime \partial^\prime_\mu (J A^{\prime\mu} )
\,\mathrm{d}x^{\prime}\,\mathrm{d}y^{\prime}\,\mathrm{d}z^{\prime} \Biggr]\\
&=\int \psi \biggl[\textcolor{red}{\partial^\prime_\mu (J A^{\prime\mu} ) \frac{1}{J}} \biggr]
\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z
\end{aligned}
&=-\Biggl[\overbrace{\int \partial^\prime_\mu (\psi^\prime J A^{\prime\mu} )
\,\mathrm{d}x^{\prime}\,\mathrm{d}y^{\prime}\,\mathrm{d}z^{\prime} }^{=0\,\text{(*1)}} \\
&\qquad\qquad\qquad
-\int \psi^\prime \partial^\prime_\mu (J A^{\prime\mu} )
\,\mathrm{d}x^{\prime}\,\mathrm{d}y^{\prime}\,\mathrm{d}z^{\prime} \Biggr]\\
&=\int \psi \biggl[\textcolor{red}{\partial^\prime_\mu (J A^{\prime\mu} ) \frac{1}{J}} \biggr]
\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z
\end{aligned}
$\partial^{\prime}_{\mu} (\psi^{\prime} J A^{\prime\mu} ) \neq \mathrm{div\,}^{\prime} (\psi^{\prime} J \boldsymbol{A}^{\prime} )$なので，Gaussの発散定理は適用できません．$f=\psi^{\prime} J A^{\prime\mu}$とするとき，$\displaystyle\int^b_a \frac{\partial f}{\partial x^\prime} \,\mathrm{d}x^\prime=f(a,y^\prime,z^{\prime})-f(b,y^{\prime},z^{\prime})$で，面$S$上で$\psi^{\prime}=0$より$f(a,y^{\prime},z^{\prime})=f(b,y^{\prime},z^{\prime})=0$となることを用いています（$y^{\prime},z^{\prime}$成分についても同様）．
上式で$\psi$は任意関数であることから ，赤字部分が等しくなることがわかります（【補足】∫(ψ・f)=0（ψは任意関数）⇒f=0となる理由）：
曲線座標の発散 (divergence)
\begin{aligned}
\mathrm{div\,}^{\prime} \boldsymbol{A}^{\prime}
= \frac{1}{J} \partial^{\prime}_{\mu} (J A^{\prime\mu} )
\tag{1}
% \label{eq:div}
\end{aligned}
\mathrm{div\,}^{\prime} \boldsymbol{A}^{\prime}
= \frac{1}{J} \partial^{\prime}_{\mu} (J A^{\prime\mu} )
\tag{1}
% \label{eq:div}
\end{aligned}
上の計算を$\boldsymbol{A}^{\prime}$の代わりに$\boldsymbol{\nabla}^{\prime} u^{\prime} =\mathrm{grad\,}^{\prime} u^{\prime}$で行えば，ラプラシアンを導くことができます．（途中式で
\begin{aligned}
\cdots
&=-\int \underset{=(\partial_\mu \psi) (\partial^\mu u)}{\underline{\boldsymbol{\nabla}\psi \cdot \boldsymbol{\nabla} u}}
\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z \\
&=-\int (\partial^\prime_\mu \psi^\prime ) (\partial^{\prime\mu}u^{\prime}) J
\,\mathrm{d}x^\prime\,\mathrm{d}y^\prime\,\mathrm{d}z^\prime \\
&=\cdots
\end{aligned}
となることに注意してください）：\cdots
&=-\int \underset{=(\partial_\mu \psi) (\partial^\mu u)}{\underline{\boldsymbol{\nabla}\psi \cdot \boldsymbol{\nabla} u}}
\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z \\
&=-\int (\partial^\prime_\mu \psi^\prime ) (\partial^{\prime\mu}u^{\prime}) J
\,\mathrm{d}x^\prime\,\mathrm{d}y^\prime\,\mathrm{d}z^\prime \\
&=\cdots
\end{aligned}
曲線座標のラプラシアン (Laplacian)
\begin{aligned}
\boldsymbol{\Delta}^{\prime} u^{\prime}
&=\mathrm{div\,}^{\prime} \mathrm{grad\,}^{\prime} u^{\prime} \\
&= \frac{1}{J} \partial^{\prime}_{\mu} (J \partial^{\prime\mu} u^{\prime} )
\tag{2}
% \label{eq:Laplacian}
\end{aligned}
\boldsymbol{\Delta}^{\prime} u^{\prime}
&=\mathrm{div\,}^{\prime} \mathrm{grad\,}^{\prime} u^{\prime} \\
&= \frac{1}{J} \partial^{\prime}_{\mu} (J \partial^{\prime\mu} u^{\prime} )
\tag{2}
% \label{eq:Laplacian}
\end{aligned}
以上より，曲線座標の発散 (div)，ラプラシアンの一般的な表式を求めることができました．偏微分を計算するよりはるかに簡単ですね．
ヤコビアン$J$，$\partial^{\prime}_{\mu}$，$A^{\prime \mu}$に具体的な表式を代入することで，極座標や円筒座標の発散・ラプラシアンが求められます．それぞれの計算方法を整理すると，
- $\displaystyle J=\Biggl|\det{\biggl(\frac{\partial x_i}{\partial x^\prime_j}\biggr)} \Biggr|$
- $\displaystyle \partial^\prime_\mu=\frac{\partial}{\partial x^{\prime\mu}}$
- $\displaystyle A^{\prime \mu}=\frac{\text{ベクトル解析の意味での}A^{\prime\mu} }{ \sqrt{g^\prime_{\mu\mu}} }$
（この式の導出：「テンソル記法」から「ベクトル解析の記法」への変換方法 - Notes_JP）．
上の最後の式からわかるように，$\displaystyle A^{\prime\mu}=\frac{\partial x^{\prime\mu}}{\partial x^\nu}A^\nu$で定義された$A^{\prime\mu}$はそのままベクトル解析で使うベクトルの成分にはなりません．例えば，3次元極座標のベクトルの成分は$\boldsymbol{A}^\prime =A_r\boldsymbol{e}_r$$+A_\theta\boldsymbol{e}_\theta$$+A_\phi \boldsymbol{e}_\phi$と表しますが，このとき
\begin{aligned}
A^{\prime r}=A_r ,\quad
A^{\prime \theta}=\frac{A_\theta}{ r },\quad
A^{\prime \phi}=\frac{A_\phi}{ r\sin\theta }
\end{aligned}
という関係が成立します．A^{\prime r}=A_r ,\quad
A^{\prime \theta}=\frac{A_\theta}{ r },\quad
A^{\prime \phi}=\frac{A_\phi}{ r\sin\theta }
\end{aligned}
それでは，式(1)，(2)に$J$，$\partial^\prime_\mu$，$A^{\prime \mu}$を代入することで極座標や円筒座標の発散・ラプラシアンを求めてみましょう．
極座標
線素を$\mathrm{d}s$とするとき- $(\mathrm{d}s)^2$$=(\mathrm{d}r)^2+ (r \,\mathrm{d}\theta )^2 + (r\sin\theta \,\mathrm{d}\phi )^2$
です．したがって，$\sqrt{g^\prime_{rr}}=1$，$\sqrt{g^\prime_{\theta\theta}}=r$，$\sqrt{g^\prime_{\phi\phi}}=r\sin\theta$なので
- \begin{aligned} \boldsymbol{A}^\prime
= A^\prime_r \boldsymbol{e}^\prime_r
+\frac{A^\prime_\theta}{r} \boldsymbol{e}^\prime_\theta
+\frac{A^\prime_\phi}{r\sin\theta} \boldsymbol{e}^\prime_\phi \end{aligned} - ヤコビアン：$J=r^2 \sin\theta$
- 計量テンソル：
\begin{aligned}
(g^\prime_{\mu\nu})
&=(\boldsymbol{e}^\prime_\mu \cdot \boldsymbol{e}^\prime_\nu )\\
&=
\begin{pmatrix}
1&0&0 \\
0&r^2&0 \\
0&0&r^2\sin^2\theta
\end{pmatrix}\\
(g^{\prime\mu\nu})
&=(g^\prime_{\mu\nu})^{-1}\\
&=
\begin{pmatrix}
1&0&0 \\
0&1/r^2&0 \\
0&0&1/r^2\sin^2\theta
\end{pmatrix}
\end{aligned}
- 発散：
\begin{aligned}
&\mathrm{div\,}^\prime \boldsymbol{A}^\prime \\
&=\frac{1}{J}\partial^\prime_\mu
\biggl[J\frac{(\boldsymbol{A}^\prime)^\mu}{ \sqrt{g^\prime_{\mu\mu}} } \biggr] \\
&=\frac{1}{r^2\sin\theta}
\Biggl[\partial_r (r^2\sin\theta\,A_r )
+\partial_\theta \biggl(\frac{r^2\sin\theta}{r} A_\theta \biggr)
+\partial_\phi \biggl(\frac{r^2\sin\theta}{r\sin\theta} A_\phi \biggr)
\Biggr] \\
&=\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r} (r^2 A_r)
+\frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial}{\partial \theta} (\sin\theta A_\theta)
+\frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial A_\phi}{\partial \phi}
\end{aligned} - ラプラシアン：
\begin{aligned}
&\Delta^\prime u^\prime \\
&=\frac{1}{J}g^{\prime \mu\nu} \partial^\prime_\mu (J \partial^{\prime}_{\nu} u^\prime) \\
&=\frac{1}{r^2\sin\theta}
\Biggl[\partial_r (r^2\sin\theta \cdot \partial_r u )
+\frac{1}{r^2}\partial_\theta (r^2\sin\theta \cdot \partial_\theta u )
+\frac{1}{r^2\sin^2\theta}\partial_\phi (r^2\sin\theta \cdot \partial_\phi u)
\Biggr] \\
&=\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r} \biggl(r^2 \frac{\partial u}{\partial r} \biggr)
+\frac{1}{r^2} \biggl[\frac{1}{\sin\theta}\frac{\partial}{\partial \theta} \biggl(\sin\theta \frac{\partial u}{\partial \theta} \biggr)
+\frac{1}{\sin^2\theta}\frac{\partial^2 u}{\partial \phi^2}\biggr]
\end{aligned}
円筒座標
極座標と全く同様にして発散・ラプラシアンを求めることができます．円筒座標では線素を$\mathrm{d}s$とするとき
- $(\mathrm{d}s )^2=(\mathrm{d}r)^2+(r \,\mathrm{d}\theta )^2 +(\mathrm{d}z)^2$
です．したがって，$\sqrt{g^\prime_{rr}}=1$，$\sqrt{g^\prime_{\theta\theta}}=r$，$\sqrt{g^\prime_{zz}}=1$なので
- $\displaystyle \boldsymbol{A}^{\prime} = A^{\prime}_r \boldsymbol{e}^{\prime}_r +\frac{A^{\prime}_{\theta}}{r} \boldsymbol{e}^{\prime}_{\theta} + A^{\prime}_z \boldsymbol{e}^{\prime}_z $
- ヤコビアン：$J=r$
- 計量テンソル：
\begin{aligned}
\bigl(g^\prime_{\mu\nu}\bigr)
&=\left(\boldsymbol{e}^\prime_\mu \cdot \boldsymbol{e}^\prime_\nu \right)\\
&=
\begin{pmatrix}
1&0&0 \\
0&r^2&0 \\
0&0&1
\end{pmatrix}\\
\left(g^{\prime\mu\nu}\right)
&=\left(g^\prime_{\mu\nu}\right)^{-1}\\
&=
\begin{pmatrix}
1&0&0 \\
0&1/r^2&0 \\
0&0&1
\end{pmatrix}
\end{aligned}
- 発散：
\begin{aligned}
&\mathrm{div\,}^\prime \boldsymbol{A}^\prime \\
&=\frac{1}{J}\partial^\prime_\mu
\left[J\frac{\left(\boldsymbol{A}^\prime\right)^\mu}{\sqrt{g^\prime_{\mu\mu}}} \right] \\
&=\frac{1}{r}
\left[\partial_r \left(r \,A_r\right)
+\partial_\theta \left(\frac{r}{r} A_\theta\right)
+\partial_z \left(r A_z \right)
\right] \\
&=\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\left(r A_r\right)
+ \frac{1}{r}\frac{\partial A_\theta}{\partial \theta}
+ \frac{\partial A_z}{\partial z}
\end{aligned} - ラプラシアン：
\begin{aligned}
&\Delta^\prime u^\prime \\
&=\frac{1}{J}g^{\prime\mu\nu} \partial^\prime_\mu \left(J \partial^{\prime}_{\nu} u^\prime\right) \\
&=\frac{1}{r}
\left[\partial_r \left(r \cdot \partial_r u\right)
+\frac{1}{r^2}\partial_\theta \left(r \cdot \partial_\theta u\right)
+\partial_\phi\left(r \cdot \partial_\phi u\right)
\right] \\
&=\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\left(r \frac{\partial u}{\partial r} \right)
+ \frac{1}{r^2}\frac{\partial^2 u}{\partial \theta^2}
+ \frac{\partial^2 u}{\partial z^2}
\end{aligned}
付録
【一般化】曲がった空間
上の議論を，曲がった空間に一般化しましょう．まず，$\bigl( x^{\prime\mu} \bigr)$をGalilei座標，$\bigl( x^\mu \bigr)$を任意の曲線座標とし，以下で記号を定めます：
- それぞれの計量テンソルを$g^{\prime}_{\mu\nu}$，$g_{\mu\nu}$
- 共変微分を$\boldsymbol{\nabla}^{\prime}_\mu=\partial^{\prime}_\mu$，$\boldsymbol{\nabla}_\mu$
- $\bigl( x^{\prime\mu} \bigr)$から$\bigl( x^\mu \bigr)$への座標変換を行う際のヤコビアンを$J=\det(\partial_\mu x^{\prime\nu})$
このとき，
\begin{aligned}
&g^{\prime\mu\nu}=\partial_\rho x^{\prime\mu} \partial_\sigma x^{\prime\nu} g^{\rho\sigma}\\
&\det(g^\prime_{\mu\nu})=1/\det(g^{\prime\mu\nu}),\quad\det(g_{\mu\nu})=1/\det(g^{\mu\nu})
\end{aligned}
&g^{\prime\mu\nu}=\partial_\rho x^{\prime\mu} \partial_\sigma x^{\prime\nu} g^{\rho\sigma}\\
&\det(g^\prime_{\mu\nu})=1/\det(g^{\prime\mu\nu}),\quad\det(g_{\mu\nu})=1/\det(g^{\mu\nu})
\end{aligned}
\begin{aligned}
J=\sqrt{\bigl|\det(g_{\mu\nu})/\det(g^\prime_{\rho\sigma})\bigr|}
\end{aligned}
であることに注意しましょう．J=\sqrt{\bigl|\det(g_{\mu\nu})/\det(g^\prime_{\rho\sigma})\bigr|}
\end{aligned}
計算手法は，上と同じです．スカラー場$f$に対しては$\boldsymbol{\nabla}_\mu f=\partial_\mu f$であることに注意してください．
\begin{aligned}
\int \psi\left(\boldsymbol{\nabla}_\mu A^\mu \right)\,\mathrm{d}^nx^{\prime}
&=\int \psi^{\prime}\left(\boldsymbol{\nabla}^{\prime}_\mu A^{\prime\mu} \right)\,\mathrm{d}^nx^{\prime}
=\int \psi^{\prime} \partial^{\prime}_\mu A^{\prime\mu} \,\mathrm{d}^nx^{\prime}\\
&=-\int \left(\partial^{\prime}_\mu \psi^{\prime} \right) A^{\prime\mu} \,\mathrm{d}^nx^{\prime}\\
&=-\int \left(\boldsymbol{\nabla}^{\prime}_\mu \psi^{\prime} \right) A^{\prime\mu} \,\mathrm{d}^nx^{\prime}
=-\int \left(\boldsymbol{\nabla}_\mu \psi \right) A^\mu \,\mathrm{d}^nx^{\prime}\\
&=-\int \left(\boldsymbol{\nabla}_\mu \psi \right) A^\mu J\,\mathrm{d}^nx\\
&=-\int \left(\partial_\mu \psi \right) A^\mu J\,\mathrm{d}^nx\\
&=\int \psi \partial_\mu\left(J A^\mu \right)\,\mathrm{d}^nx\\
&=\int \psi \partial_\mu\left(J A^\mu \right)\,\frac{\mathrm{d}^nx^{\prime}}{J}
\end{aligned}
\int \psi\left(\boldsymbol{\nabla}_\mu A^\mu \right)\,\mathrm{d}^nx^{\prime}
&=\int \psi^{\prime}\left(\boldsymbol{\nabla}^{\prime}_\mu A^{\prime\mu} \right)\,\mathrm{d}^nx^{\prime}
=\int \psi^{\prime} \partial^{\prime}_\mu A^{\prime\mu} \,\mathrm{d}^nx^{\prime}\\
&=-\int \left(\partial^{\prime}_\mu \psi^{\prime} \right) A^{\prime\mu} \,\mathrm{d}^nx^{\prime}\\
&=-\int \left(\boldsymbol{\nabla}^{\prime}_\mu \psi^{\prime} \right) A^{\prime\mu} \,\mathrm{d}^nx^{\prime}
=-\int \left(\boldsymbol{\nabla}_\mu \psi \right) A^\mu \,\mathrm{d}^nx^{\prime}\\
&=-\int \left(\boldsymbol{\nabla}_\mu \psi \right) A^\mu J\,\mathrm{d}^nx\\
&=-\int \left(\partial_\mu \psi \right) A^\mu J\,\mathrm{d}^nx\\
&=\int \psi \partial_\mu\left(J A^\mu \right)\,\mathrm{d}^nx\\
&=\int \psi \partial_\mu\left(J A^\mu \right)\,\frac{\mathrm{d}^nx^{\prime}}{J}
\end{aligned}
従って，
曲線座標 (曲がった空間) の発散 (divergence)
\begin{aligned}
\boldsymbol{\nabla}_\mu A^\mu
=\frac{1}{J} \partial_\mu \bigl(J A^\mu \bigr)\,
\end{aligned}
\boldsymbol{\nabla}_\mu A^\mu
=\frac{1}{J} \partial_\mu \bigl(J A^\mu \bigr)\,
\end{aligned}
上の結果で，$A^\mu=\boldsymbol{\nabla}^\mu \phi=\partial^\mu\phi$とすれば
曲線座標 (曲がった空間) のラプラシアン (Laplacian)
\begin{aligned}
\boldsymbol{\nabla}_\mu \boldsymbol{\nabla}^\mu \phi
=\frac{1}{J} \partial_\mu \bigl(J \partial^\mu\phi \bigr)\,
\end{aligned}
\boldsymbol{\nabla}_\mu \boldsymbol{\nabla}^\mu \phi
=\frac{1}{J} \partial_\mu \bigl(J \partial^\mu\phi \bigr)\,
\end{aligned}
【補足】∫(ψ・f)=0（ψは任意関数）⇒f=0となる理由
よく使われる論法ですが，スルーされがちです．これは，もし$f(x)\neq g(x)$となる点$x$があったとすれば，その近くでだけ$\neq0$となる任意関数を選ぶ$\psi$と，積分が$\neq 0$となってしまうことから従います．実際に，以下を示してみましょう：任意関数$\psi$について
【証明】\begin{aligned}
\int \psi(x) [f(x)-g(x)]\,\mathrm{d}x=0
\end{aligned}
が成立するとき，$f=g$となる．\int \psi(x) [f(x)-g(x)]\,\mathrm{d}x=0
\end{aligned}
$f(x)-g(x)$は連続関数なので，もし$f(x)\neq g(x)$となる点$x$があれば，その点の十分近くの領域$V$をとることで
\begin{aligned}
f(y)-g(y)>0\quad(y\in V)\qquad\text{or}\qquad f(y)-g(y)<0\quad(y\in V)
\end{aligned}
f(y)-g(y)>0\quad(y\in V)\qquad\text{or}\qquad f(y)-g(y)<0\quad(y\in V)
\end{aligned}
\begin{aligned}
\begin{cases}
\psi(y) \geq 0 &(y\in V)\\
\psi(y) >0 &(y\in U)\\
\psi(y)=0 & (y\notin V)
\end{cases}
\end{aligned}
となるものが存在する．この$\psi$に対しては\begin{cases}
\psi(y) \geq 0 &(y\in V)\\
\psi(y) >0 &(y\in U)\\
\psi(y)=0 & (y\notin V)
\end{cases}
\end{aligned}
\begin{aligned}
\int \psi(x) [f(x)-g(x)]\,\mathrm{d}x\neq0
\end{aligned}
となり矛盾．//\int \psi(x) [f(x)-g(x)]\,\mathrm{d}x\neq0
\end{aligned}
参考文献/記事
- [1]熱・波動と微分方程式：この記事は，この書籍で紹介している「部分積分を用いたラプラシアンの導出」を一般化したものです．
- [2]詳解物理応用数学演習：ラプラシアンの表式だけが知りたい場合は，次の演習書が辞書代わりになります．分厚いですが，公式や計算手法を調べる際には便利です．悩んでいる問題があったら，パラパラめくってみると役に立つことが見つかるかもしれません．
- [3]場の古典論：一般の曲線座標の場合のラプラシアンの表式は，LandauのNotationを使いました．詳しくは，本書を参照して下さい．
- [4]共変微分による極座標系ラプラシアンの導出 [物理のかぎしっぽ]：このページで，一般曲線座標のラプラシアンの導出について議論がされています．
