- ベン図を使えば，条件付き確率・ベイズの定理が簡単に理解できる．
- ベイズの定理の応用例を紹介．
- 結論：下図より，$A$が起こったときに$B$が起こる確率は$P(B|A)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(A)}=\dfrac{P(B)P(A|B)}{P(A)}$となることがわかる！
ベイズの定理
わかりにくい条件付き確率・ベイズの定理も，ベン図を使えば直感的に理解することができます！
【関連記事】
- [A]条件付き確率をサイコロ１個で考える - Notes_JP：極端に簡単な例．
- [B]表でわかるベイズの定理（公式いらず） - Notes_JP：実は，条件付き確率の問題を解くときには，ベン図を使うよりも表を書くほうが便利です．この記事と合わせて読むと良いです．
- [Z]TikZ実例集〜2Dグラフ編 - Notes_JP：この記事のベン図はTeX (TikZ)で作成しました．
確率とベン図
2つの事象$A$, $B$を考えます．$A$, $B$としては，例えば以下が考えられます：
| 事象$A$ | 事象$B$ |
|---|---|
| サイコロで偶数が出る | サイコロで6が出る |
| 40℃以上の熱がある | インフルエンザである |
| 金髪である | 外国人である |
| 信号が青である | (自分が)信号が青であることを認識している |
このとき，事象$A$, $B$の包含関係はベン図を使って
- Aが起こり，Bは起きない
- Aは起こらないが，Bは起こる
- AもBも起こる
- AもBも起こらない
以下では，各事象のベン図に占める面積が，確率と等しくなるように描かれていることにしましょう．つまり，事象$A$の起こる確率$P(A)$は「ベン図における面積」で表されます．
条件付き確率とベン図
事象$A$が起こったとことがわかったとき，確率を表すベン図は，下図の左から右のように変化します．このとき，「右図の確率」は「左の図で使っていた（確率測度）$P$」で表すことができません．なぜなら，全事象が$A$となるため，右図の（確率測度）$\tilde{P}$は
\tilde{P}(A)=1,\quad
\tilde{P}(A^c)=0
\end{aligned}
確率はベン図の面積比ですから，$P$と$\tilde{P}$には次の関係が成り立つことがわかります（*1）：
\tilde{P}(B)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}.
\end{aligned}
通常，$\tilde{P}(B)$を$P(B|A)$で表します．以降ではこの記法を使います．
ここで注意すべきは，
このことを，最初に挙げた事象$A$, $B$の例で考えたのが次です．当たり前ですね．
| $P(B|A)$ | $P(A|B)$ |
|---|---|
| サイコロで偶数が出たときに，その目が6である確率 ($=1/3$) | $\neq$ サイコロで6が出たときに，その目が偶数である確率 ($=1$) |
| 40℃以上の熱があったときに，インフルエンザである確率． | $\neq$ インフルエンザのときに，40℃以上の熱が出る確率． |
| 金髪である人が，外国人である確率． | $\neq$ 外国人が金髪である確率． |
| 信号が青であるときに，(自分が)信号が青であると思っている確率． | $\neq$ (自分が)信号が青であると思っているときに，信号が青である確率． |
ベイズの定理
上のベン図から，$P(B|A)$と$P(A|B)$はそれぞれ$P(A)$と$P(B)$の大きさから決まることがわかります．実際，上の2式から$P(A\cap B)$を消去すれば，次の関係式が導かれます．この関係式は，「ベイズの定理」と呼ばれます：ベイズの定理を使うと，$P(A|B)$の情報から$P(B|A)$を計算することができます．具体例を見てみましょう．
【例】病気の診断
ベイズの定理は「病気の診断」に応用できます．つまり，「病気の診断」とは，- $P(S|D)$：「病気$D$」のときに，「症状$S$」が現れる確率
をデータとして蓄積し，
- $P(D|S)$：「症状$S$」が現れたときに「病気$D$」である確率
を求める問題と言えます．そして，この問題は，ベイズの定理を用いて
P(D|S)=\frac{P(D)P(S|D)}{P(S)}
\end{aligned}
特に，病気が$(D_1,...,D_n)$のうちいずれかであることがわかっている場合には，
P(S)
&=\sum_{j=1}^n P(S \cap D_j) \\
&=\sum_{j=1}^n P(D_j)P(S|D_j)
\end{aligned}
P(D_i|S)=\frac{P(D_i)P(S|D_i)}{\sum_j P(D_j)P(S|D_j)}
\end{aligned}
【例】人間の直感とベイズの定理
ダニエル・カーネマン「ファスト＆スロー」第16章で扱われている例を紹介します．以下の2つの問を考えてみましょう．夜，市内1台のタクシーがひき逃げをした．但し，
- 目撃者は，タクシーが青色だったと証言している．
- 目撃者がタクシーの色を正しく判別できる確率は80%．
- ケース1
- 市内に走るタクシーは，85%が緑のタクシー，15%が青のタクシーである．
- タクシーの色とひき逃げのしやすさは無関係である．
- ケース2
- 市内に走るタクシーは，50%が緑のタクシー，50%が青のタクシーである．
- 過去の事故の85%は緑のタクシーが関与している．
まずは，現実で上の状況に直面した場合を想像して，直感的に答えてみてください．
実は，ケース1，ケース2のどちらも同じ確率(41%)になります．しかし，著者によると「人は因果関係を持たない情報を無視する傾向がある」そうです．これは，次の表で表すことができます：
| 与えられた情報 | 人の行う推定 | |
|---|---|---|
| ケース1 | 母集団の情報 | 情報を無視する：80%に近い値を予想する |
| ケース2 | 因果関係の情報 | 情報を重視する：ベイズの定理から導かれる値(41%)に近い値を予想する |
それでは実際にベイズの定理を用いて計算をしてみましょう．まずは，事象を以下で定めます：
| 事象A | 事象B |
|---|---|
| 目撃者が青と言う | ひき逃げをしたタクシーの色が青である |
このとき，求めたい確率は「目撃者がタクシーが青だったと証言したとき，青タクシーがひき逃げをした確率」です．これは，ベイズの定理を用いて計算することができます：
したがって，右辺の3つの確率を計算すれば良いことがわかります．
まず，ケース1・2で共通の条件である
- 「目撃者はタクシーが青だと証言」
- 「目撃者は80%の確率でタクシーの色を正しく判別できる」
\textcolor{blue}{P(A|B)=0.8},P(A|B^c)=0.2.
\end{aligned}
次に，ケース1・2におけるそれぞれの異なるタクシーの情報は，どちらも
\textcolor{red}{P(B)=0.15},P(B^c)=0.85
\end{aligned}
- ケース2では，条件の文章が直接この式を意味しています．
- ケース1では，(遭遇したタクシーの色が青である確率) = (ひき逃げをしたタクシーの色が青である確率)であることを確認する必要があります．直感的に明らかなようにも思えますが，ちゃんとベイズの定理から示せます．まず，事象C,Dを以下で定めましょう：
事象B 事象C 事象D ひき逃げをしたタクシーの色が青である 遭遇したタクシーの色が青である タクシーがひき逃げをする
- タクシーの色とひき逃げのしやすさは無関係であることは，$P(D|C)=P(D|C^c)=P(D)$を意味するので，$P(B)=P(C|D)=P(C)P(D|C)/P(D)=P(C)$であることがわかります．
- あるいは，次のようにも考えられます．タクシーの色とひき逃げのしやすさは無関係であることは，$P(C\cap D)=P(C)P(D)$を意味する(独立事象)ので，$P(B)=P(C|D)=P(C\cap D)/P(D)=P(C)$．
最後に，$P(A)$は次のように計算できます：
\textcolor{green}{P(A)}
&=P(A\cap B) + P(A\cap B^c)\\
&=P(B)P(A|B) + P(B^c)P(A|B^c)\\
&=0.29.
\end{aligned}
以上を「求めたい確率の式」に代入すれば
P(B|A)=\frac{P(B)P(A|B)}{P(A)}\simeq 0.41
\end{aligned}
参考文献/記事
- この記事を書こうと思ったきっかけとなった書籍です．上の例を紹介するために，ベイズの定理の解説記事を書きはじめました．問われ方によって，人は異なる確率を見積もってしまうという事実には驚きですね．ファスト&スロー(上) あなたの意思はどのように決まるか? (ハヤカワ文庫 NF 410)
- 病気の診断の例は，次の書籍を参考にしました：数理統計学 (数学シリーズ)
- ベン図はTeX (TikZ) で作成しています．コードは，以下の記事を参考にしました．tikz pgf - Label intersection of 3 sets - TeX - LaTeX Stack Exchange
*1:$P(A)$は規格化定数というわけです
